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Übersicht: Mathematik für Informatiker 1

Stand: 2026-10-29 (letzte Vorlesung: 29.10.2026)

Diese Übersicht fasst alle bisher in der Vorlesung behandelten Themen zusammen, basierend auf den Original-Mitschriften vom 10.10., 15.10., 19.10., 22.10., 26.10. und 29.10.2026 (letztere handschriftlich in OneNote, abgeschrieben in 291026 Vorlesung.md).

Themenübersicht

#	Thema	Datei	Kerninhalte
1	Funktionen und Abbildungen	01 Funktionen und Abbildungen	Zahlbereiche, Funktionsbegriff ($D$, $W$, Graph, Nullstellen), Beispiele (Floor, Ceiling, Betrag), arithmetische Operationen für Funktionen, Polynome, Exponentialfunktionen
2	Folgen – Grundlagen	02 Folgen - Grundlagen	Folge als Abbildung $\mathbb{N}\to \mathbb{R}$, Bildungsvorschriften (verbal, explizit, rekursiv), arithmetische/geometrische Folge, Fibonacci
3	Vollständige Induktion	03 Vollständige Induktion	Abspaltregel, Induktion Tiefe 1 (Gaußsche Summenformel), Tiefe 2 (Fibonacci-Abschätzung), allgemeine Induktion (n-te Ableitung)
4	Grenzwert und Konvergenz von Folgen	04 Grenzwert und Konvergenz von Folgen	$ϵ$-Umgebung, formale Grenzwertdefinition, Grenzwertregeln G1–G7 (Teilfolgen, Sandwich-Prinzip, Rechenregeln, unbestimmte Ausdrücke, Wurzelgrenzwerte)
5	Monotonie und Beschränktheit	05 Monotonie und Beschränktheit	Monotonie-Definition und vereinfachtes Folgenkriterium, Schranken, Konvergenzsatz für monotone beschränkte Folgen (mit vollständigem Beweis)
6	Die Eulersche Zahl $e$	06 Die Eulersche Zahl e	Herleitung von $e$ über Monotonie/Beschränktheit, Mittelungleichung, Fehlerabschätzung, Verallgemeinerung ($(1+\frac{a}{x_n}{)}^{x_n}\to e^a$), schnellere $e$-Folge über Fakultätsreihe
7	Landau-Symbolik	07 Landau-Symbolik	$O$-Notation, Kriterien K1–K7 über Grenzwerte, Rechenregeln R1–R4, Laufzeitklassen und Hierarchie, $\Omega ,\Theta ,o,\omega ,\sim$, Polynome sind $\Theta (n^k)$, Stirlingsche Formel

Roter Faden

Der Aufbau der Vorlesung folgt einer klaren Linie:

1. Funktionen (Thema 1) liefert den Grundbegriff, auf dem alles andere aufbaut — eine Folge ist nichts anderes als eine spezielle Funktion mit Definitionsbereich $\mathbb{N}$.
2. Folgen (Thema 2) und vollständige Induktion (Thema 3) gehören eng zusammen: Rekursiv definierte Folgen (wie Fibonacci) sind der Hauptanwendungsfall für Induktionsbeweise, insbesondere “Tiefe 2”-Induktion.
3. Grenzwerte (Thema 4) sind das zentrale Konzept der Analysis — die $ϵ$-$N$-Definition und die Grenzwertregeln (insbesondere das Sandwich-Prinzip) werden in praktisch jedem weiteren Kapitel gebraucht.
4. Monotonie und Beschränktheit (Thema 5) liefern ein mächtiges Werkzeug: Konvergenz nachweisen, ohne den Grenzwert vorher zu kennen.
5. Dieses Werkzeug wird sofort angewendet, um die Eulersche Zahl $e$ (Thema 6) überhaupt erst als Grenzwert einzuführen — ein Paradebeispiel dafür, wie Thema 5 in der Praxis genutzt wird.
6. Landau-Symbolik (Thema 7) knüpft an das asymptotische Verhalten von Folgen an und baut die Brücke zur Informatik (Laufzeitanalyse von Algorithmen). Fast alle Kriterien laufen über Grenzwerte von Quotienten, also direkt über Thema 4.

Noch offene / in Original-Mitschrift unklare Stellen

• In “221026 Vorlesung” wird unter 2.4.6.1 auf Beispiele “in OneNote” verwiesen, die nicht im Markdown-Skript enthalten sind — ggf. beim Nutzer nachfragen, ob diese noch eingepflegt werden sollen.

Hinweis zu den Original-Mitschriften

Die Original-Dateien liegen unverändert zwei Ebenen höher im Fachordner Module/Mathematik für Informatiker 1/ (Dateien: 101226 Vorlesung.md, 151026 Vorlesung.md, 191026 Vorlesung.md, 221026 Vorlesung.md, 261026 Vorlesung.md, 291026 Vorlesung.md + Original-PDF in Files/). Sie wurden nicht verändert — diese Zusammenfassungen hier sind eine thematisch neu geordnete, ausführlichere Aufbereitung zum Wiederholen.