04 Grenzwert und Konvergenz von Folgen

4. Grenzwert und Konvergenz von Folgen

Voraussetzung: 02 Folgen - Grundlagen (Folgenbegriff)

4.1 Limesschreibweise

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=g\text{bzw.}{a}_n\to g\text{oder}{a}_n\stackrel{n\to \infty }{\to }g$

Sprechweisen:

• “Limes von $a_n$ für $n$ gegen unendlich ist gleich $g$”
• “Folge $(a_n)$ konvergiert für $n$ gegen $\infty$ gegen $g$“

---

4.2 Approximation einer Zahl $g\in \mathbb{R}$

Bevor der Grenzwert formal definiert wird, braucht man den Begriff der Näherung.

$ϵ$-Näherung

Definition

$x\in \mathbb{R}$ heißt $ϵ$-Näherung von $g$, falls $|x-g|<ϵ$.

• $|x-g|$ = absoluter Fehler der Näherung bezüglich $g$
• $ϵ$ = Fehlerschranke

Beispiel:

• $g=\sqrt{2}\approx 1,4142$
• $x=\frac{17}{12}=1,41\overline{6}$
• $|x-g|$ lässt sich nicht exakt angeben (da $\sqrt{2}$ irrational ist)
• aber man kann zeigen: $|x-g|<0,003=3\cdot 10^{-3}=:ϵ$

Umformung der Betragsungleichung

$|x-g|=ϵ⟺x-g=\pm ϵ⟺x=g-ϵ\text{ oder }x=g+ϵ$ $|x-g|<ϵ⟺-ϵ<x-g<ϵ⟺g-ϵ<x<g+ϵ$

Definition: $ϵ$-Umgebung

$U_{ϵ}(g):=(g-ϵ,g+ϵ)$ genannt die $ϵ$-Umgebung von $g$.

Damit gilt: $x\in U_{ϵ}(g)⟺|x-g|<ϵ$

Idee des Grenzwerts

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=g$ bedeutet anschaulich:

Für großes $n$ wird der absolute Fehler $f_n=|a_n-g|$ beliebig klein:

• Für jede Fehlerschranke $ϵ>0$ gilt $a_n\in U_{ϵ}(g)$
• für fast alle $n\in \mathbb{N}$ (d.h. für alle $n\in \mathbb{N}$ bis auf höchstens endlich viele Ausnahmen)

Das heißt: Es gibt einen Index $N\in \mathbb{N}$, sodass für alle $n>N$ gilt $|a_n-g|<ϵ$.

$a=(\underset{\text{keine Forderung}}{\underbrace{a_1,a_2,\dots ,a_N}},\underset{\text{alle in }{U}_{ϵ}(g)}{\underbrace{a_{N+1},\dots }})$

Zentrale Intuition

Der Index $N$ darf von $ϵ$ abhängen — je kleiner die gewünschte Fehlerschranke $ϵ$, desto größer wird typischerweise $N$ ausfallen müssen. Das ist der Kern der sogenannten “$ϵ$-$N$-Definition” des Grenzwerts.

---

4.3 Formale Definition

Sei $(a_n{)}_{n\ge 1}$ eine Folge, $g\in \mathbb{R}$.

Endlicher Grenzwert

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=g⟺\forall ϵ>0\exists N\in \mathbb{N}\forall n\in \mathbb{N}:n>N⟹|a_n-g|<ϵ$

Uneigentlicher Grenzwert ($\pm \infty$)

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\{\begin{array}{l}+\infty \\ -\infty \end{array}⟺\forall S\in \mathbb{R}\exists N\in \mathbb{N}\forall n\in \mathbb{N}:n>N⟹\{\begin{array}{l}{a}_n>S\\ a_n<S\end{array}$

($S$ steht hier für eine beliebig vorgegebene Schranke.)

---

4.4 Sprechweisen

Eine Folge $(a_n)$ heißt:

• konvergent: falls $a_n$ einen endlichen Grenzwert $g\in \mathbb{R}$ hat
• divergent: falls $a_n$ keinen endlichen Grenzwert hat
  • bestimmt divergent: falls der Grenzwert $\pm \infty$ ist
  • unbestimmt divergent: falls $a_n$ überhaupt keinen Grenzwert hat (auch nicht $\pm \infty$)

Nullfolge

Eine Folge mit Grenzwert $g=0$.

---

4.5 Ausführliches Beispiel: Grenzwert explizit nachweisen

Sei $(a_n)$ die Folge mit $a_n=2+\frac{\cos n}{n}$, $n\ge 1$.

Behauptung: ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=2$

Zu zeigen: $\forall ϵ>0\exists N=N(ϵ)\forall n\in \mathbb{N}:n>N\to |a_n-2|<ϵ$

Beweis:

$f_n=|a_n-2|=\left|\frac{\cos n}{n}\right|=\frac{|\cos n|}{n}$

Die Gleichung $f_n<ϵ$ lässt sich wegen $\cos n$ nicht direkt nach $n$ auflösen. Trick: abschätzen statt exakt auflösen, denn $|\cos n|\le 1$ für alle $n$:

$f_n=\frac{|\cos n|}{n}\le \frac{1}{n}$

Und $\frac{1}{n}<ϵ⟺n>\frac{1}{ϵ}$ (für $ϵ>0$).

Wähle also: $N(ϵ)=\lceil \frac{1}{ϵ}\rceil \ge \frac{1}{ϵ}$

Damit gilt: $n>N(ϵ)⟹f_n\le \frac{1}{n}<ϵ$, also $n>N(ϵ)⟹|a_n-2|<ϵ$.

Damit ist ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=2$ bewiesen. ∎

Konkretes Zahlenbeispiel: $ϵ=\frac{1}{10}⟹N(ϵ)=10$. Ab dem 11. Folgenglied gilt also $|a_n-2|<\frac{1}{10}$.

Beweisstrategie-Merksatz

Wenn sich $f_n<ϵ$ nicht direkt nach $n$ auflösen lässt (z.B. wegen $\cos n$, $\sin n$ o.ä.), schätze $f_n$ nach oben durch einen einfacheren Ausdruck ab, der sich auflösen lässt (hier: $\frac{|\cos n|}{n}\le \frac{1}{n}$). Das ist die Standardtechnik für die meisten $ϵ$-$N$-Beweise.

---

4.6 Grenzwertregeln

Seien $(a_n),(b_n),(c_n)$ Folgen über $\mathbb{R}$ und $a,b,c\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$.

G1 — Folgenänderung an endlich vielen Stellen

$a_n\to a\text{und}{b}_n=a_n\text{ fu¨r }n\ge n_0⟹b_n\to a$

Ändert man nur endlich viele Anfangsglieder einer Folge, bleibt der Grenzwert unverändert.

G2 — Teilfolgen

Regel

Hat $(a_n)$ den Grenzwert $a$, dann hat jede Teilfolge $(b_n)$ von $(a_n)$ ebenfalls den Grenzwert $a$.

Typische Teilfolgen:

• $b_n=(a_2,a_4,a_6,a_8,\dots )$, also $b_n=a_{2n}$ für $n\ge 1$ (gerade Indizes)
• $b_n=(a_5,a_6,a_7,a_8,\dots )$, also $b_n=a_{n+4}$ für $n\ge 1$ (ab einem Index)

Anwendungsbeispiel (Divergenzbeweis über widersprüchliche Teilfolgen):

$a_n=(-1{)}^n\cdot n=(-1,2,-3,4,-5,6,\dots )$ $b_n=a_{2n}=(-1{)}^{2n}\cdot 2n=2n⟹b_n\to \infty$ $c_n=a_{2n-1}=(-1{)}^{2n-1}\cdot (2n-1)=-(2n-1)⟹c_n\to -\infty$

Die Teilfolgen $b_n$ und $c_n$ haben unterschiedliche Grenzwerte $⟹a_n$ hat keinen Grenzwert (ist divergent).

Wichtige Beweistechnik

G2 liefert eine Standardmethode, um Divergenz zu zeigen: Findet man zwei Teilfolgen mit unterschiedlichen Grenzwerten, kann die Gesamtfolge nicht konvergieren.

G3 — Grenzwertübergang bei Ungleichungen

Monotonie des Grenzwerts: $\forall n>n_0:b_n\le c_n⟹{\lim }_{n\to \infty }{b}_n\le {\lim }_{n\to \infty }{c}_n$

Sandwich-Prinzip (Einschnürungssatz)

$\forall n\ge n_0:b_n\le a_n\le c_n\wedge {\lim }_{n\to \infty }{b}_n={\lim }_{n\to \infty }{c}_n=g⟹{\lim }_{n\to \infty }{a}_n=g$

Beispiel: $a_n=\frac{\sin n}{n},-\frac{1}{n}\le a_n\le \frac{1}{n}$

Da $-\frac{1}{n}\to 0$ und $\frac{1}{n}\to 0$, folgt mit dem Sandwich-Prinzip: ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$

Wann benutzt man das Sandwich-Prinzip?

Immer dann, wenn sich eine Folge nicht direkt auswerten lässt (z.B. wegen $\sin n$, $\cos n$), aber man sie zwischen zwei einfacheren Folgen mit demselben Grenzwert “einklemmen” kann.

G4 — Fehlerfolge

$a_n\to g⟺f_n=|a_n-g|\to 0(g\in \mathbb{R})$

Dies folgt direkt aus der Definition des Grenzwerts — die Konvergenz von $a_n$ gegen $g$ ist äquivalent dazu, dass der Fehler (Abstand) $f_n$ eine Nullfolge ist.

G5 — Nullfolgen und Kehrwert

$a_n\to 0,a_n>0\text{ fu¨r }n\ge n_0⟹\frac{1}{a_n}\stackrel{n\to \infty }{\to }+\infty$ $a_n\to 0,a_n<0\text{ fu¨r }n\ge n_0⟹\frac{1}{a_n}\stackrel{n\to \infty }{\to }-\infty$ $|a_n|\to \infty ⟹\frac{1}{a_n}\to 0$

Beweis der ersten Regel:

Voraussetzung: $a_n\to 0$, d.h. $\forall ϵ>0\exists N\forall n>N:|a_n|<ϵ$, und $a_n>0$ für $n\ge n_0$ (also $a_n<ϵ$ statt $|a_n|<ϵ$, da ohnehin positiv).

Behauptung: $\frac{1}{a_n}\to +\infty$, d.h. $\forall S\exists N\forall n>N:\frac{1}{a_n}>S$

Beweis: Sei $S\in \mathbb{R}$ eine beliebige Schranke $>0$ (für $S\le 0$ ist $\frac{1}{a_n}>S$ wegen $a_n>0$ sowieso erfüllt; $S=0$ muss man ausschließen, sonst wäre $\frac{1}{S}$ nicht definiert). $\frac{1}{a_n}>S⟺a_n<\frac{1}{S}=:ϵ$ Nach Voraussetzung gilt für $ϵ=\frac{1}{S}$: $\exists N\forall n>N:a_n<\frac{1}{S}$, also $\frac{1}{a_n}>S$ (für $n>\max (N,n_0)$). ∎

Merke

Eine Nullfolge mit konstantem Vorzeichen “klappt” beim Kehrwert nach $\pm \infty$ um — das Vorzeichen von $a_n$ bestimmt, in welche Richtung.

---

4.7 G6 — Rechnen mit Grenzwerten

Gilt $a_n\to a$ und $b_n\to b$ (mit $a,b\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$), so gelten folgende Aussagen:

$$\begin{array}{ccccc}& \begin{array}{c}a\in \mathbb{R}\\ b\in \mathbb{R}\end{array}& \begin{array}{c}a\in \mathbb{R}\\ b=\infty \end{array}& \begin{array}{c}a=\infty \\ b\in \mathbb{R}\end{array}& \begin{array}{c}a=\infty \\ b=\infty \end{array}\\ a_n+b_n\to & a+b& \infty & \infty & \infty \\ a_n-b_n\to & a-b& -\infty & \infty & \text{?}\\ a_n\cdot b_n\to & a\cdot b& \{\begin{array}{ll}\infty & a>0\\ \text{?}& a=0\\ -\infty & a<0\end{array}& \{\begin{array}{ll}\infty & b>0\\ -\infty & b<0\\ \text{?}& b=0\end{array}& \infty \\ \frac{a_n}{b_n}\to & \{\begin{array}{ll}\frac{a}{b}& b\ne 0\\ \text{*}& b=0\end{array}& 0& \{\begin{array}{ll}\infty & b>0\\ -\infty & b<0\\ \text{kein GW bei VZ-Wechsel}& \end{array}& \text{?}\\ (a_n{)}^{b_n},a_n>0\to & a^b((a,b)\ne (0,0))& \{\begin{array}{ll}\infty & a>1\\ 0& a<1\\ \text{?}& a=1\end{array}& \{\begin{array}{ll}\infty & b>0\\ 0& b<0\\ \text{?}& b=0\end{array}& \infty \end{array}$$

Stern (*): Fall $a\ne 0,b=0$: $\{\begin{array}{ll}\infty & \text{falls }\frac{a_n}{b_n}>0\\ -\infty & \text{falls }\frac{a_n}{b_n}<0\\ \text{kein GW}& \text{falls }\frac{a_n}{b_n}\text{ das Vorzeichen wechselt}\end{array}$

Die 7 unbestimmten Ausdrücke

Merke dir diese 7 Fälle!

$\infty -\infty ,0\cdot \infty ,\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },0^0,1^{\infty },{\infty }^0$ In all diesen Fällen lässt sich das Ergebnis nicht pauschal aus den einzelnen Grenzwerten ablesen — es hängt von der konkreten Folge ab (daher die Fragezeichen ”?” in der Tabelle).

Besonderheit: $0^0$ ist als reiner Potenzausdruck eigentlich 1 (Konvention), aber bei Grenzwerten ist $0^0$ trotzdem unbestimmt, weil Basis und Exponent unabhängig und auf unterschiedliche Arten gegen 0 streben können.

---

4.8 G7 — Grenzwerte von Wurzeln

Sei $(a_n)$ eine Folge mit $a_n\ge 0$ für alle $n$.

Regel

Ist $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$, so gilt auch: ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{a_n}=q$

Beispiel: ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{n+1}{n}={\lim }_{n\to \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)=1$

(hier mit $a_n=n$, also $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{n}$)