01 Funktionen und Abbildungen

1. Funktionen und Abbildungen

Dies ist der Einstieg in die Differentialrechnung für Funktionen $f:D\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$.

1.1 Zahlbereiche

Zur Erinnerung/Wiederholung die verschachtelten Zahlbereiche, die im Folgenden ständig gebraucht werden:

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\dots \}\text{Menge der natu¨rlichen Zahlen}$ ${\mathbb{N}}_0=\mathbb{N}\cup \{0\}$ $\mathbb{Z}=\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots \}\text{Menge der ganzen Zahlen}$ $\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}|m,n\in \mathbb{Z},n\ne 0\right\}\text{Menge der rationalen Zahlen}$ $\mathbb{R}=\text{Menge der reellen Zahlen (z.B. }\sqrt{2},e\in \mathbb{R},\text{ aber }\notin \mathbb{Q})$

Es gilt die Inklusionskette $\mathbb{N}\subset {\mathbb{N}}_0\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$.

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1.2 Abbildungen / Funktionen

Definition: Abbildung

Eine Abbildung / Funktion aus $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$ ist eindeutig definiert durch:

1. Angabe einer Menge $D\subseteq \mathbb{R}$, dem Definitionsbereich von $f$
2. eine eindeutige Vorschrift, die jedem Element $x\in D$ genau ein $y\in \mathbb{R}$ zuordnet

Schreibweisen: $x\in D\mapsto y=f(x)\in \mathbb{R}$

Symbol $\mapsto$

“wird zugeordnet”

$f:D\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{"f ist Abbildung von D in }\mathbb{R}\text{"}$

Sprechweisen

• $x$: Argument von $f$ (unabhängige Variable)
• $y$: abhängige Variable
• $f(a)$: Funktionswert von $f$ an der Stelle $x=a$, auch Bild von $f$ an der Stelle $x=a$ genannt

Bezeichnungen

Graph einer Funktion

${\Gamma }_f=\{(x,y)\mid x\in D,y=f(x)\}=\{(x,f(x))\mid x\in D\}$

Wertebereich

$W=\{f(x)\mid x\in D\}$

Nullstelle

Ein Argument $x\in D$ mit $f(x)=0$.

Wichtige Unterscheidung

Der Definitionsbereich $D$ ist, wo man einsetzen darf; der Wertebereich $W$ ist, was tatsächlich als Ergebnis herauskommt. $W$ ist oft eine echte Teilmenge von $\mathbb{R}$, selbst wenn $D=\mathbb{R}$ ist (siehe Beispiel 5 unten, Betragsfunktion).

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1.3 Beispiele

Beispiel 1: Identische Abbildung

${\text{id}}_{\mathbb{R}}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{mit}\text{id}(x)=x\text{fu¨r alle }x\in \mathbb{R}$ $D=\mathbb{R},W=\mathbb{R}$

y=x

Beispiel 2: Gebrochen-rationale Funktion mit Definitionsbereichs-Einschränkung

$D\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\frac{x}{x^2-1}=\frac{x}{(x+1)(x-1)}$

Der maximale Definitionsbereich (dort, wo der Nenner nicht null wird): $D_1=\mathbb{R}\setminus \{1,-1\},W_1=\mathbb{R}$

Schränkt man den Definitionsbereich künstlich ein (Annahme $x\ge 3$): $D_2=\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 3\}=[3,\infty )$ $W_2=\{f(x)\mid x\ge 3\}=\left\{y|0<y\le \frac{3}{8}\right\}=\left(0,\frac{3}{8}\right]$

y=\frac{x}{x^{2}-1}
 
y=\frac{x}{x^{2}-1}|x\geq3|red

Lerneffekt

Dieses Beispiel zeigt: Derselbe Funktionsterm kann je nach gewähltem Definitionsbereich einen völlig anderen Wertebereich liefern. $D$ und $f$ zusammen legen $W$ fest — nicht $f$ allein.

Beispiel 3: Floor-Funktion (Abrundungsfunktion)

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\lfloor x\rfloor =\text{gro¨ßte ganze Zahl}\le x$ $D=\mathbb{R},W=\mathbb{Z}$

Beispiele: $\lfloor 0,1\rfloor =0,\lfloor 2\rfloor =2,\lfloor -1,1\rfloor =-2$

Fallstrick bei negativen Zahlen

$\lfloor -1,1\rfloor =-2$, nicht $-1$! “Abrunden” heißt immer “zur nächstkleineren ganzen Zahl”, nicht “Nachkommastellen abschneiden” — bei negativen Zahlen ist das ein Unterschied.

y=\operatorname{floor}(x)

Beispiel 4: Ceiling-Funktion (Aufrundungsfunktion)

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{mit}f(x)=\lceil x\rceil =\text{kleinste ganze Zahl}\ge x$ $D=\mathbb{R},W=\mathbb{Z}$

y=\operatorname{ceil}(x)

Beispiel 5: Betragsfunktion

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{mit}f(x)=|x|=\{\begin{array}{ll}x& \text{fu¨r }x\ge 0\\ -x& \text{fu¨r }x<0\end{array}$ $D=\mathbb{R},W=\{y\in \mathbb{R}\mid y\ge 0\}=[0,\infty )$

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1.4 Arithmetische Operationen für Funktionen

Sind $f,g:D\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ Funktionen mit demselben Definitionsbereich $D$, lassen sich daraus neue Funktionen konstruieren:

Summe / Differenz

$f+g:D\to \mathbb{R},(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ $f-g:D\to \mathbb{R},(f-g)(x)=f(x)-g(x)$ jeweils für alle $x\in D$.

Produkt

$f\cdot g:D\to \mathbb{R},(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)\text{fu¨r alle }x\in D$

Quotient

$\frac{f}{g}:D^{\prime }\to \mathbb{R},\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ für alle $x\in D^{\prime }=\{x\in D\mid g(x)\ne 0\}$.

Definitionsbereich beachten

Beim Quotienten muss der Definitionsbereich auf $D^{\prime }$ eingeschränkt werden — überall dort, wo $g$ eine Nullstelle hat, ist der Quotient nicht definiert (vgl. Beispiel 2 oben).

Vielfache

Für $\alpha \in \mathbb{R}$: $\alpha f:D\to \mathbb{R},(\alpha f)(x)=\alpha \cdot f(x)$

Nullfunktion

$0:D\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{mit}0(x)=0\text{fu¨r alle }x$

Regeln: $f+0=f$ $f+(-f)=0$

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1.5 Spezielle Funktionsklassen

Polynomabbildungen

Definition: Polynomfunktion

Eine Abbildung $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ mit $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,a_0,\dots ,a_n\in \mathbb{R}$ heißt Polynomfunktion vom Grad n, falls $a_n\ne 0$. Die Werte $a_0,\dots ,a_n$ heißen Koeffizienten des Polynoms $f$.

Spezialfälle:

1. Nullpolynom: $f(x)=0$ für alle $x$ (alle Koeffizienten sind 0), Grad$(f)=-\infty$ (Konvention)
2. Konstantes Polynom: $f(x)=a$ für ein $a\ne 0$, Grad$(f)=0$
3. (Affin) lineares Polynom: $f(x)=ax+b$ mit $a\ne 0$, Grad$(f)=1$

Satz (ohne Beweis, folgt später)

Ein Polynom vom Grad $n\ge 0$ über $\mathbb{R}$ hat höchstens $n$ Nullstellen.

Exponentialfunktionen

Definition: Allgemeine Exponentialfunktion

Eine Abbildung $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ mit $f(x)=a^x\text{fu¨r ein }a>0$ heißt allgemeine Exponentialfunktion.

Satz (Basiswechsel)

Sind $a,b>0$ reelle Zahlen, so gilt für alle $x\in \mathbb{R}$: $a^x=(b^{{\log }_{b}a}{)}^x=b^{x\cdot {\log }_{b}a}$

Praktische Konsequenz

Jede Exponentialfunktion lässt sich auf die Basis $e$ zurückführen. Tatsächlich definiert man in der Analysis zuerst $e^x$ und $\ln x$ (über Potenzreihen bzw. als Umkehrfunktion), und dann erst: $a^x:=e^{x\cdot \ln a}$ Das ist der Grund, warum in der Analysis $e^x$ und $\ln x$ die “fundamentalen” Funktionen sind, aus denen alle anderen Exponential- und Logarithmusfunktionen abgeleitet werden.

Weitere Funktionsklassen

• Rationale Funktionen: $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$, wobei $p,q$ Polynome sind (vgl. Beispiel 2 oben, $\frac{x}{x^2-1}$).
• Logarithmusfunktionen: $f(x)={\log }_{b}x=y⟺b^y=x$
• Trigonometrische Funktionen: $f(x)=\cos x$, $f(x)=\sin x$, $f(x)=\tan x$, $f(x)=\cot x$

Diese Funktionsklassen bilden den “Werkzeugkasten”, mit dem später in der Differential- und Integralrechnung gearbeitet wird.