05 Monotonie und Beschränktheit

5. Monotonie und Beschränktheit

Voraussetzung: 04 Grenzwert und Konvergenz von Folgen (Grenzwertbegriff), 03 Vollständige Induktion (Beweistechnik)

5.1 Monotonie

Definition: Monotonie einer Funktion

Eine Funktion $f:D\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ heißt

$\{\begin{array}{l}\text{streng monoton wachsend}\\ \text{monoton wachsend}\\ \text{streng monoton fallend}\\ \text{monoton fallend}\end{array}⟺\forall x_1,x_2\in D:x_1<x_2⟹\{\begin{array}{l}f(x_1)<f(x_2)\\ f(x_1)\le f(x_2)\\ f(x_1)>f(x_2)\\ f(x_1)\ge f(x_2)\end{array}$

Folgen sind spezielle Funktionen mit $D=\mathbb{N}$ (siehe 02 Folgen - Grundlagen).

Monotonie bei Folgen: Vereinfachtes Kriterium

Behauptung: $(a_n)$ ist

$\{\begin{array}{l}\text{streng monoton wachsend}\\ \text{monoton wachsend}\\ \text{streng monoton fallend}\\ \text{monoton fallend}\end{array}⟺\forall n:\{\begin{array}{l}{a}_n<a_{n+1}\\ a_n\le a_{n+1}\\ a_n>a_{n+1}\\ a_n\ge a_{n+1}\end{array}$

Man muss also nicht alle Paare $x_1<x_2$ prüfen, sondern es reicht, direkt aufeinanderfolgende Glieder zu vergleichen.

Beweis (für streng monoton wachsend):

Die Rückrichtung "$\Leftarrow$" ist der Spezialfall $x_1=n,x_2=n+1$ der allgemeinen Definition — trivial.

Für "$\Rightarrow$" (den interessanten Teil): Seien $x_1,x_2\in D=\mathbb{N}$ mit $x_1<x_2$. $x_1=n,x_2=m>n,\text{also }{x}_2=n+r\text{ fu¨r ein }r\in \mathbb{N}$

Durch wiederholtes Anwenden der Voraussetzung ($a_k<a_{k+1}$ für jedes $k$) entsteht eine Kette: $a_n<a_{n+1}<a_{n+2}<\cdots <a_{n+r}=a_m$

Also $a_n<a_m$, d.h. $a_{x_1}<a_{x_2}$. ∎

Praktischer Nutzen

Um Monotonie einer Folge zu zeigen, reicht es, nur $a_n$ und $a_{n+1}$ zu vergleichen (z.B. per Differenz $a_{n+1}-a_n$ oder Quotient $\frac{a_{n+1}}{a_n}$) — man muss nicht beliebige Indexpaare betrachten.

---

5.2 Beschränktheit

Definition: Schranke

$S$ heißt obere Schranke von $(a_n)$, falls $\forall n:a_n\le S$. $S$ heißt untere Schranke von $(a_n)$, falls $\forall n:a_n\ge S$.

Definition: Beschränktheit

$(a_n)$ heißt:

• nach oben beschränkt, wenn es eine obere Schranke gibt
• nach unten beschränkt, wenn es eine untere Schranke gibt
• beschränkt, wenn es sowohl eine obere als auch eine untere Schranke gibt

Beispiel: $a_n=1+\frac{1}{n}$

$0<\frac{1}{n}\le 1⟹1<1+\frac{1}{n}\le 2$

• $S=2$ ist obere Schranke von $a_n$
• $S=1$ ist untere Schranke von $a_n$
• $a_n$ ist beschränkt

Beobachtung: Monotonie impliziert einseitige Beschränktheit

Satz

Jede monoton wachsende Folge ist nach unten beschränkt (durch $S=a_1$). Jede monoton fallende Folge ist nach oben beschränkt (durch $S=a_1$).

Beweis (für monoton wachsend, mittels vollständiger Induktion — siehe 03 Vollständige Induktion):

Behauptung: $\forall n:a_n\ge a_1$

Induktionsanfang: $a_1\ge a_1$ — wahr.

Induktionsschritt:

Voraussetzung: $a_n\ge a_1$

Behauptung: $a_{n+1}\ge a_1$

Beweis: $a_{n+1}\underset{\text{Monotonie}}{\underbrace{\ge }}{a}_n\underset{\text{Vor.}}{\underbrace{\ge }}{a}_1$ ∎

Merke

Monotonie allein garantiert nur einseitige Beschränktheit “automatisch” (durch das Startglied). Für die Beschränktheit auf der anderen Seite braucht man ein zusätzliches Argument (siehe Konvergenzsatz unten).

---

5.3 Konvergenzverhalten monotoner Folgen

Dies ist einer der wichtigsten Sätze über Folgen — er erlaubt es, Konvergenz nachzuweisen, ohne den Grenzwert vorher zu kennen.

Satz (Monotonie + Beschränktheit $\Rightarrow$ Konvergenz)

1. Ist $(a_n)$ monoton wachsend und nach oben beschränkt, dann ist $(a_n)$ konvergent (d.h. es existiert ein endlicher Grenzwert).
2. Ist $(a_n)$ monoton wachsend und nicht nach oben beschränkt, dann ist ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\infty$.
3. Ist $(a_n)$ monoton fallend und nach unten beschränkt, dann ist $(a_n)$ konvergent.
4. Ist $(a_n)$ monoton fallend und nicht nach unten beschränkt, dann ist ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=-\infty$.
5. Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beweis zu 1.

$(a_n)$ ist nach oben beschränkt $⟹$ es existiert eine obere Schranke. Sei $S$ die kleinste obere Schranke (diese existiert nach der Vollständigkeit von $\mathbb{R}$ — dem sogenannten Supremumsprinzip).

Behauptung: ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=S$

Beweis: Sei $ϵ>0$ beliebig.

$S-ϵ$ ist keine obere Schranke (sonst wäre $S$ ja nicht die kleinste obere Schranke — Widerspruch zur Minimalität von $S$). $\neg (\forall n:a_n\le S-ϵ)$ also $\exists N:a_N>S-ϵ$

Wegen der Monotonie gilt dann für alle $n>N$: $S-ϵ<a_N\le a_n\underset{\text{Beschra¨nktheit}}{\underbrace{\le }}S<S+ϵ$

Also: $\forall ϵ>0\exists N\forall n:n>N⟹S-ϵ<a_n<S+ϵ$, d.h. $|a_n-S|<ϵ$ (strikt, wie es die Grenzwertdefinition verlangt).

$⟹{\lim }_{n\to \infty }{a}_n=S■$

Beweis zu 2.

$(a_n)$ nicht nach oben beschränkt $⟹$ für jede Zahl $S\in \mathbb{R}$ ist $S$ keine obere Schranke: $\forall S:\neg (\forall N:a_N\le S)$ $⟹\forall S:\exists N:a_N>S$

Wegen der Monotonie gilt für alle $n>N$: $a_n\ge a_N>S$.

$⟹\forall S\exists N\forall n:n>N⟹a_n>S⟹{\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\infty ■$

Beweis zu 3. und 4.

Analog zu 1. bzw. 2., jeweils mit “Schranke” durch “größte untere Schranke” (Infimum) ersetzt und die Ungleichungen umgedreht.

Beweis zu 5. (Jede konvergente Folge ist beschränkt)

$(a_n)$ konvergent $⟹\exists {\lim }_{n\to \infty }{a}_n=g⟹\forall ϵ\dots$ (gilt insbesondere auch für $ϵ=1$):

$⟹\exists N\forall n>N:g-1<a_n<g+1$

Damit sind alle Glieder ab $N$ beschränkt — für die endlich vielen Glieder davor ($a_1,\dots ,a_N$) nimmt man einfach das Maximum bzw. Minimum dazu:

$⟹\text{obere Schranke: }S=\max \{a_1,\dots ,a_N,g+1\}$ $⟹\text{untere Schranke: }S=\min \{a_1,\dots ,a_N,g-1\}■$

Umkehrung gilt NICHT

Aus Beschränktheit allein folgt nicht Konvergenz! Gegenbeispiel: $a_n=(-1{)}^n$ ist beschränkt ($-1\le a_n\le 1$), aber nicht konvergent (die Teilfolgen der geraden und ungeraden Indizes haben unterschiedliche Grenzwerte, vgl. G2 in 04 Grenzwert und Konvergenz von Folgen). Konvergenz folgt aus Beschränktheit nur zusammen mit Monotonie.

Warum ist dieser Satz so wichtig?

Er ist die Grundlage, um Konvergenz zu beweisen, ohne den Grenzwert zu kennen — man muss nur Monotonie und Beschränktheit zeigen (beides oft einfacher als eine $ϵ$-$N$-Abschätzung direkt für den unbekannten Grenzwert). Genau diese Technik wird im nächsten Kapitel verwendet, um die Eulersche Zahl $e$ einzuführen (siehe 06 Die Eulersche Zahl e).