02 Folgen - Grundlagen

2. Folgen – Grundlagen

Voraussetzung: 01 Funktionen und Abbildungen (Funktionsbegriff)

2.1 Definition

Definition: Folge

Eine Abbildung $a:\mathbb{N}\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ heißt (unendliche) Folge über $\mathbb{R}$.

Man nennt $a_n:=a(n)$ das n-te Folgenglied der Folge $a$, und $n$ den Index von $a_n$.

Schreibweise: $a=(a_1,a_2,a_3,\dots )=(a_n{)}_{n\ge 1}=(a_n)$

Bemerkungen

1. Statt $\mathbb{N}$ taucht auch ${\mathbb{N}}_0$ oder $\{n\in \mathbb{N}\mid n\ge m\}$ als Definitionsbereich auf, z.B. $(a_1,a_2,a_3,\dots )$ oder auch $(a_7,a_8,a_9,\dots )$ — die Folge muss also nicht zwingend bei Index 1 beginnen.
2. Es gibt auch Folgen über anderen Mengen: $a:\mathbb{N}\to X$ für eine beliebige Menge $X$. Man spricht dann von X-Folgen. Beispiel: Punktfolgen im ${\mathbb{R}}^n$ — hier ist jedes $a_n$ ein Punkt im ${\mathbb{R}}^n$, keine reelle Zahl.

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2.2 Bildungsvorschriften für Folgen

Es gibt drei grundlegende Arten, eine Folge anzugeben:

1. Verbale Beschreibung

Beispiel: $a_n=\text{n-te Primzahl}$ $a=(a_1,a_2,a_3,\dots )=(2,3,5,7,\dots )$

2. Explizite Formel

Hier lässt sich $a_n$ direkt aus $n$ berechnen, ohne vorherige Folgenglieder zu kennen.

Arithmetische Folge

$a_n=c+n\cdot d,n\ge 0,c,d\in \mathbb{R}$ $a=(a_0,a_1,a_2,\dots )=(c,c+d,c+2d,\dots )$ Aufeinanderfolgende Glieder unterscheiden sich um eine konstante Differenz $d$.

Geometrische Folge

$a_n=b\cdot x^n,n\ge 0,x,b\in \mathbb{R}$ $a=(b,b\cdot x,b\cdot x^2,\dots )$ Aufeinanderfolgende Glieder unterscheiden sich um einen konstanten Faktor $x$.

3. Rekursive Definition

Hier wird $a_n$ aus (einem oder mehreren) vorherigen Folgengliedern berechnet.

Beispiel (Heron-Verfahren für $\sqrt{2}$): $\{\begin{array}{ll}{a}_1=2& \text{Anfangsglied}\\ a_n=\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{a_{n-1}}{2},n\ge 2& \text{Rekursionsformel}\end{array}$

$a_1=2,a_2=\frac{1}{2}+\frac{2}{2}=\frac{3}{2},a_3=\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{17}{12},\dots$

Diese Folge konvergiert gegen $\sqrt{2}$: $a_n\stackrel{n\to \infty }{\to }\sqrt{2}$ (Beweis der Konvergenz folgt später, siehe 04 Grenzwert und Konvergenz von Folgen).

Beispiel (Fibonacci-Folge): $\{\begin{array}{l}{a}_1=1,a_2=1\\ a_n=a_{n-1}+a_{n-2},n\ge 3\end{array}$ $a=(1,1,2,3,5,8,\dots )$

Unterschied explizit vs. rekursiv

Bei einer expliziten Formel kann man z.B. direkt $a_{100}$ berechnen, ohne $a_1,\dots ,a_{99}$ zu kennen. Bei einer rekursiven Definition braucht man zwingend die vorherigen Glieder — das macht rekursive Folgen für Beweise interessant (Stichwort: vollständige Induktion, siehe 03 Vollständige Induktion), aber für die direkte Berechnung oft aufwändiger.