06 Die Eulersche Zahl e

6. Die Eulersche Zahl $e$

Voraussetzung: 05 Monotonie und Beschränktheit (Konvergenzsatz für monotone, beschränkte Folgen)

6.1 Ausgangspunkt: Zwei Folgen

Betrachte die Folgen $(a_n)$ und $(b_n)$ mit $a_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n,b_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}\text{fu¨r }n\ge 1$

Ziel: Zeige mithilfe von Monotonie und Beschränktheit (siehe 05 Monotonie und Beschränktheit), dass beide Folgen konvergieren — und definiere darüber die Eulersche Zahl $e$.

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6.2 Hilfsmittel: Mittelungleichung

Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

Für $x_1,\dots ,x_m\ge 0$ aus $\mathbb{R}$ gilt: $\underset{\text{geometrisches Mittel}}{\underbrace{\sqrt[m]{x_1\cdot x_2\cdot \cdots \cdot x_m}}}\le \underset{\text{arithmetisches Mittel}}{\underbrace{\frac{{\sum }_{k=1}^m{x}_k}{m}}}$

Spezialfall (ein festes $x\ge 0$, die übrigen $m-1$ Werte alle gleich 1, plus ein weiterer Wert 1 dazu — insgesamt $n$ Faktoren $x$ und ein Faktor 1, macht $n+1$ Werte): Für festes $x\ge 0$ und $n\ge 1$:

$\sqrt[n+1]{x^n}\le \frac{1+n\cdot x}{n+1}$

Dies folgt aus der allgemeinen Mittelungleichung mit $x_1=\cdots =x_n=x$ und $x_{n+1}=1$.

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6.3 Behauptung: $(a_n)$ ist monoton wachsend

Beweis: Setze in die Spezialform der Mittelungleichung $x=1+\frac{1}{n}$ ein:

$\sqrt[n+1]{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}\le \frac{1+n\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)}{n+1}=\frac{1+n+1}{n+1}$

$\sqrt[n+1]{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}\le \frac{1}{n+1}+\frac{n+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$

Beide Seiten mit $(\cdot {)}^{n+1}$ potenzieren (erlaubt, da beide Seiten positiv sind):

${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\le {\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{n+1}$

$⟹a_n\le a_{n+1}■$

6.4 Behauptung: $(b_n)$ ist monoton fallend

Der Beweis läuft ähnlich, ist aber etwas aufwändiger (daher hier nur als Ergebnis festgehalten — Herleitung analog zu 6.3 mit vertauschten Rollen).

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6.5 Zusammenhang zwischen $a_n$ und $b_n$

$b_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot a_n>a_n$

Also gilt für jedes $n$: $b_n>a_n$ (da der Faktor $1+\frac{1}{n}>1$ ist).

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6.6 Konvergenz beider Folgen

Aus den bisherigen Ergebnissen:

• $(a_n)$ ist monoton wachsend
• $(b_n)$ ist monoton fallend
• $a_n<b_n$ für alle $n$

Daraus folgt:

• $b_1$ ist eine obere Schranke für $(a_n)$ (da $a_n<b_n\le b_1$, letzteres wegen Monotonie von $b_n$ fallend)
• $a_1$ ist eine untere Schranke für $(b_n)$ (analog)

$a_1\underset{\text{(2) Monotonie}}{\underbrace{\le }}{a}_n\underset{\text{(4) Vergleich}}{\underbrace{<}}{b}_n\underset{\text{(3) Monotonie}}{\underbrace{\le }}{b}_1$

Nach dem Konvergenzsatz für monotone, beschränkte Folgen (siehe 05 Monotonie und Beschränktheit, Abschnitt 5.3) sind damit beide Folgen konvergent.

Definition: Eulersche Zahl

$e:={\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$

Folgerung: Da $b_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot a_n$ und $\left(1+\frac{1}{n}\right)\to 1$ (triviale Nullfolge-Grenzwertrechnung, siehe G6 in 04 Grenzwert und Konvergenz von Folgen):

${\lim }_{n\to \infty }{b}_n={\lim }_{n\to \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot a_n=1\cdot e=e$

Beide Folgen konvergieren also gegen denselben Grenzwert $e$.

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6.7 Fehlerabschätzung für $a_n$

Man kann sogar angeben, wie schnell $a_n$ gegen $e$ konvergiert:

$b_n-a_n=a_n\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)-a_n=\frac{a_n}{n}$

Da $2\le a_n<4$ für alle relevanten $n$ (grobe Schranken, aus der Beschränktheit):

$\frac{2}{n}\le b_n-a_n\le \frac{4}{n}$

Da $a_n\le e\le b_n$ (aus der Monotonie beider Folgen gegen denselben Grenzwert), folgt daraus eine konkrete Fehlerschranke:

$⟹|a_n-e|<\frac{4}{n}$

Zahlenbeispiel: $a_{500}=2,715$, und $e=2,71828\dots$

Tatsächlich: $|a_{500}-e|\le \frac{4}{500}=0,008$ — passt zur beobachteten Abweichung.

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6.8 Verallgemeinerung auf beliebige Folgen gegen $\pm \infty$

Satz

Ist $(x_n)$ eine Folge mit ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=\pm \infty$, so gilt: ${\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x_n}\right)}^{x_n}=e$

Das heißt: Nicht nur für $x_n=n$ (die natürlichen Zahlen selbst), sondern für jede Folge, die gegen $\pm \infty$ strebt, liefert dieser Ausdruck denselben Grenzwert $e$.

Allgemeiner (29.10.)

Für eine Konstante $a$ und $x_n\to \pm \infty$ gilt: ${\left(1+\frac{a}{x_n}\right)}^{x_n}⟶e^a$

Beispiel (29.10.): Trick: Zähler und Nenner so umformen, dass zwei Ausdrücke der Form ${\left(1+\frac{a}{n}\right)}^n$ entstehen. ${\left(\frac{n+7}{n-2}\right)}^n={\left(\frac{n\left(1+\frac{7}{n}\right)}{n\left(1-\frac{2}{n}\right)}\right)}^n=\frac{{\left(1+\frac{7}{n}\right)}^n}{{\left(1+\frac{-2}{n}\right)}^n}⟶\frac{e^7}{e^{-2}}=e^9$

Rezept

$n$ ausklammern, kürzen, dann Zähler und Nenner einzeln mit ${\left(1+\frac{a}{n}\right)}^n\to e^a$ behandeln und die Grenzwertregel für Quotienten (G6) anwenden. Achtung bei $1-\frac{2}{n}$: Das ist $a=-2$, nicht $a=2$.

Beispiele: siehe

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6.9 Eine schneller konvergierende $e$-Folge

Die Folge $(a_n)$ konvergiert recht langsam gegen $e$ (Fehler nur in der Größenordnung $\frac{4}{n}$). Es gibt deutlich schnellere Alternativen:

Folge über die Fakultätsreihe

$(S_n{)}_{n\ge 1},S_n={\sum }_{k=0}^n\frac{1}{k!}$

Man kann zeigen (hier nicht ausgeführt):

$a_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\le S_n\le {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}=b_n$

Mit dem Sandwich-Prinzip (siehe 04 Grenzwert und Konvergenz von Folgen, G3) und da sowohl $a_n\to e$ als auch $b_n\to e$:

$⟹{\lim }_{n\to \infty }{S}_n=e$

Praktische Relevanz

$S_n={\sum }_{k=0}^n\frac{1}{k!}$ konvergiert in der Praxis viel schneller gegen $e$ als $a_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n$ — das ist auch der Grund, warum numerische Berechnungen von $e$ (und später: der Exponentialfunktion $e^x$ als Potenzreihe) über die Fakultätsreihe und nicht über den Grenzwert-Ausdruck mit der Potenz erfolgen.