03 Mengenlehre - Grundlagen und Axiome

3. Mengenlehre: Grundlagen und Axiome

Voraussetzung: 02 Aussageformen und Quantoren (Aussageformen, Prädikate)

3.1 Der naive Mengenbegriff

Cantors Mengendefinition (1895)

“Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens.” “Von jedem Objekt steht fest, ob es zur Menge gehört oder auch nicht.”

Beispiele für Mengen:

• $\{1,2,3,4\}$ — Menge der ganzen Zahlen von 1 bis 4
• $\{M,A,T,H,E,I,K\}$ — Menge der Buchstaben des Wortes “Mathematik”
• $\{A,E,H,I,K,M,T\}$ — dieselbe Menge, andere Reihenfolge der Auflistung
• $\{M,A,T,H,E,M,A,T,I,K\}$ — ebenfalls dieselbe Menge (Mehrfachnennung ändert nichts)
• $\{x\in \underset{\text{Menge der ganzen Zahlen}}{\underbrace{\mathbb{Z}}}:x\text{ prim}\}$ — Menge aller Primzahlen
• $\{x\in \mathbb{R}:0\le x\le 1\}$ — Menge der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 (inklusive)

Merke

Bei Mengen kommt es nicht auf Reihenfolge oder Wiederholung an — nur darauf, welche Elemente enthalten sind.

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3.2 Das Problem der naiven Mengenlehre

Betrachtet man das Universum aller Mengen, möchte man gerne zwei natürliche Wünsche erfüllen:

Wunsch 1: "$x\in y$" soll eine Aussageform über dem Universum aller Mengen sein. D.h. für zwei Mengen $x,y$ ist entweder $x$ ein Element von $y$ ($x\in y$ wahr) oder nicht ($x\in y$ falsch). Sehr natürlicher Wunsch.

Wunsch 2 (naiv — Aussonderung durch Prädikate): Ist $p(x)$ eine Aussageform über dem Universum aller Mengen, so soll es eine Menge geben, die aus genau denjenigen Mengen besteht, für die $p(x)$ wahr ist.

Die Russellsche Antinomie

Dieser zweite, naive Wunsch führt zu einem Widerspruch:

Betrachte das Prädikat $p(x)="x\notin x"$.

Nach Wunsch 2 gäbe es dann eine Menge $M$, die aus genau denjenigen Mengen besteht, für die $p(x)$ wahr ist: $M=\{x:p(x)\text{ wahr}\}=\{x:x\notin x\}$

Frage: Gehört $M$ zu sich selbst, also gilt $M\in M$?

• Fall 1: $M\in M$. Dann gilt nach Definition von $M$: $p(M)$ ist wahr für $M$, also (nach Definition von $p$) $M\notin M$. WIDERSPRUCH.
• Fall 2: $M\notin M$. Dann gilt nach Definition von $p$: $p(M)$ ist wahr für $M$, also (nach Definition von $M$) $M\in M$. WIDERSPRUCH.

Beide Fälle führen zum Widerspruch — die naive Mengenlehre ist inkonsistent.

Die Lösung

Lösungsidee

Aussonderung nicht aus dem gesamten Universum, sondern nur aus bereits “gesicherten” (bestehenden) Mengen.

Wunsch 2 (korrigiert): Ist $p(x)$ eine Aussageform über dem Universum aller Mengen und $A$ eine Menge, so soll es eine Menge geben, die aus genau denjenigen Mengen aus $A$ besteht, für die $p(x)$ wahr ist.

Definition: Klasse

Die Gesamtheit aller Mengen, die ein vorgegebenes Prädikat $p(x)$ erfüllen, nennt man eine Klasse. Die Gesamtheit aller Mengen ist selbst eine Klasse, aber keine Menge (eine sogenannte echte Klasse, auch “Unmenge”).

Dieses axiomatische Vorgehen (schrittweise Wünsche formulieren, die dann zu Axiomen werden) führt letztlich zum ZFC-Axiomensystem: $\underset{\text{Zermelo}}{\underbrace{Z}}\underset{\text{Fraenkel}}{\underbrace{F}}\underset{\text{Choice (Auswahlaxiom)}}{\underbrace{C}}$

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3.3 Die Mengenaxiome im Detail

Wunsch 3 (Extensionalitätsaxiom)

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten: $A=B\leftrightarrow \forall x:(x\in A\leftrightarrow x\in B)$

Fallstrick

In der Mitschrift steht hier nur $⟶$. Damit wäre nur $A\subseteq B$ gesagt. Für Gleichheit braucht man beide Richtungen, also $\leftrightarrow$.

Daraus folgt für zwei Prädikate $p(x),q(x)$ und eine Menge $C$: $\{x\in C:p(x)\text{ wahr}\}=\{x\in C:q(x)\text{ wahr}\}⟺\forall x\in C:p(x)\leftrightarrow q(x)$

Teilmenge

Definition: Teilmenge

$A$ ist Teilmenge von $B$, Schreibweise $A\subseteq B$, falls gilt: $\forall x:x\in A⟶x\in B$

Wichtige Konsequenz: $A\subseteq B\wedge B\subseteq A⟺A=B$

Dies ist die Standardtechnik, um Mengengleichheit zu beweisen: Man zeigt beide Inklusionen getrennt (siehe 04 Mengenoperationen).

Wunsch 0 (Existenz einer Menge) und die leere Menge

Wunsch 0

Es gibt (mindestens) eine Menge.

(In der Mitschrift fehlt die Formulierung von Wunsch 0 selbst; sie ergibt sich aus dem Beweis unten, der “Nach Wunsch 0 gibt es eine Menge $A$” benutzt.)

Folgerung

Es gibt eine Menge ohne Elemente, die leere Menge, Bezeichnung $\varnothing$.

Beweis: Nach Wunsch 0 (Existenz irgendeiner Menge) gibt es eine Menge $A$. Betrachte das Prädikat $p(x)="x\in x\wedge x\notin x"$ Dieses Prädikat ist immer falsch (Widerspruch in sich). Die Menge $\{x\in A:p(x)\text{ wahr}\}$ aller Mengen $x$ aus $A$, für die $p(x)$ wahr ist, enthält also keine Elemente — das ist die leere Menge.

Wunsch 4 (Potenzmengenaxiom)

Definition: Potenzmenge

Zu jeder Menge $A$ gibt es eine Menge, die aus genau denjenigen Mengen $x$ besteht, für die $x\subseteq A$ gilt. Diese Menge heißt Potenzmenge von $A$. Schreibweisen: $\mathfrak{P}(A)$, $P(A)$, $2^A$.

Beispiele: $\mathfrak{P}(\varnothing )=\{\varnothing \}$ $\mathfrak{P}(\{\varnothing \})=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ $\mathfrak{P}(\{1,2,3\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$

Faustregel

Eine Menge mit $n$ Elementen hat genau $2^n$ Teilmengen (inklusive $\varnothing$ und der Menge selbst) — daher die Schreibweise $2^A$.

Darstellung durch Hasse-Diagramm:

Konvention beim Hasse-Diagramm: $x$ steht “über” $y$, falls $y\subseteq x$. Eine direkte Verbindungslinie zwischen $x$ und $y$ wird nur gezogen, wenn $y\subseteq x$, $y\ne x$, und es kein Zwischenelement $z$ gibt mit $y\subseteq z\subseteq x$ außer $z=y$ oder $z=x$ (d.h. nur direkte Nachbarn in der Teilmengenhierarchie werden verbunden, keine “Abkürzungen”).

Paarmengenaxiom

Definition: Paarmenge

Zu Mengen $x,y$ existiert eine Menge, die genau die Mengen $x$ und $y$ als Elemente enthält. Schreibweise: $\{x,y\}$, im Fall $x=y$ einfach $\{x\}$.

Vereinigungsaxiom

Definition: Große Vereinigung

Zu jeder Menge $A$ (deren Elemente selbst Mengen sind) gibt es eine Menge, die aus genau denjenigen Mengen besteht, die in wenigstens einem Element von $A$ enthalten sind. $\bigcup A:=\{x:\exists y\in A:x\in y\}$

Beispiel: $A=\{\{1,2,3\},\{2,4,6,7\},\{1\},\varnothing ,\{0,4,8,36\}\}$ $\bigcup A=\{1,2,3,4,6,7,0,8,36\}$

Schnittmengenaxiom

Definition: Große Schnittmenge

Zu jeder nichtleeren Menge $A$ gibt es eine Menge, die aus genau denjenigen Elementen besteht, die in allen Elementen von $A$ vorkommen. $\bigcap A:=\{x:\forall y\in A:x\in y\}=\{x\in \bigcup A:\forall y\in A:x\in y\}$

Beispiele: $A=\{\{1,2,3\},\{2,4,6,7\},\{1\},\varnothing ,\{0,4,8,36\}\}\Rightarrow \bigcap A=\varnothing$ (denn $\varnothing \in A$, und mit einer leeren Menge als Element ist der Schnitt automatisch leer)

$\bigcap \{\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\},\dots \}=\{1,2\}$ $\bigcap \{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\}\}=\{1\}$

Warum "nichtleere" Menge $A$?

$\bigcap \varnothing$ wäre die Menge aller Objekte überhaupt (jede Bedingung “für alle $y$ in der leeren Menge” ist leer erfüllt) — das wäre wieder das Universum aller Mengen, keine echte Menge. Daher ist $\bigcap A$ nur für nichtleeres $A$ definiert.

Die zweistelligen Operationen $\cup ,\cap$ für zwei konkrete Mengen (nicht für eine Mengenfamilie) werden darauf zurückgeführt und in 04 Mengenoperationen behandelt.