04 Mengenoperationen

4. Mengenoperationen

Voraussetzung: 03 Mengenlehre - Grundlagen und Axiome (Paarmengenaxiom, große Vereinigung/Schnittmenge)

4.1 Zweistellige Mengenoperationen

Für zwei Mengen $A,B$ betrachtet man zunächst die Paarmenge $\{A,B\}$ (Paarmengenaxiom) und definiert darauf aufbauend die gewohnten Operationen über die großen Operationen $\bigcup ,\bigcap$ aus 03 Mengenlehre - Grundlagen und Axiome:

$A\cup B:=\bigcup \{A,B\}=\{x:x\in A\vee x\in B\}$ $A\cap B:=\bigcap \{A,B\}=\{x:x\in A\wedge x\in B\}=\{x\in A:x\in B\}=\{x\in B:x\in A\}$

Wichtiger Zusammenhang

Die “kleinen” zweistelligen Operationen $\cup ,\cap$ sind also nur Spezialfälle der “großen” Operationen $\bigcup ,\bigcap$, angewendet auf eine Paarmenge. Das zeigt, wie konsequent das Axiomensystem aufgebaut ist: Fast alles lässt sich auf wenige Grundaxiome zurückführen.

Weitere zweistellige Mengenoperationen

Differenz (Komplement relativ zu A)

$A\setminus B:=\{x\in A:x\notin B\}$ Lies: “A ohne B” oder “Komplement von B relativ zu A”.

Beispiel-Eigenschaft: Für $B\subseteq A$ gilt $A\setminus (A\setminus B)=B$.

Symmetrische Differenz

$A△B:=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$ Enthält alle Elemente, die in genau einer der beiden Mengen liegen (nicht in beiden).

Verallgemeinerung auf eine Mengenfamilie: Für eine Menge $A$ (von Mengen) sei $△A=\{x\in \bigcup A:x\text{ liegt in einer ungeraden Anzahl von Mengen aus }A\}$

Für den Spezialfall $A=\{x,y\}$ (zwei Mengen) gilt dann $△\{x,y\}=x△y$ — die Verallgemeinerung ist also konsistent mit der zweistelligen Definition.

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4.2 Rechenregeln für Mengenoperationen

Regel	Name
$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$	Assoziativität $\cup$
$A\cup B=B\cup A$	Kommutativität $\cup$
$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$	Assoziativität $\cap$
$A\cap B=B\cap A$	Kommutativität $\cap$
$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$	Distributivgesetz
$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$	Distributivgesetz (#)

Diese Regeln sind nicht zufällig identisch mit den Regeln der Aussagenlogik (siehe 01 Aussagenlogik, Abschnitt 1.4) — das liegt daran, dass $\cup$ über $\vee$ und $\cap$ über $\wedge$ definiert sind.

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4.3 Beweistechnik: Mengengleichheit zeigen

Die Standardmethode, um $X=Y$ für Mengen zu zeigen, ist der Doppelbeweis:

1. Zeige $X\subseteq Y$ (jedes Element von $X$ ist auch in $Y$)
2. Zeige $Y\subseteq X$ (jedes Element von $Y$ ist auch in $X$)

Dabei nutzt man aus: Jeder Beweisschritt "$x\in \cdots \to x\in \dots$" entspricht genau einer aussagenlogischen Umformung, auf die man die Äquivalenzregeln aus 01 Aussagenlogik anwenden kann.

Beweis von (#): $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

”⊆”: Sei $x\in A\cup (B\cap C)$.

${⟶}^{\text{Def.}\cup }x\in A\vee x\in B\cap C$ ${⟶}^{\text{Def.}\cap }x\in A\vee (x\in B\wedge x\in C)$ ${⟶}^{\text{Distributivgesetz (Aussagenlogik)}}(x\in A\vee x\in B)\wedge (x\in A\vee x\in C)$ ${⟶}^{\text{Def.}\cup }x\in A\cup B\wedge x\in A\cup C$ $⟶x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$

”⊇”: Analog — oder man bemerkt: Alle “Vorwärtsimplikationen” ($⟶$) oben sind in Wirklichkeit bereits Äquivalenzen ($⟷$), weil jede verwendete Regel (Definition von $\cup ,\cap$, Distributivgesetz) in beide Richtungen gilt. Damit ist mit dem einen Beweis bereits beide Inklusionsrichtungen gezeigt.

Zeitspar-Trick

Prüfe bei jedem Beweisschritt, ob die verwendete Umformung eine echte Äquivalenz ist (nicht nur eine Implikation). Wenn ja, spart man sich den zweiten Teilbeweis (”⊇”) komplett, weil ”⊆” + “alle Schritte sind ⟺” bereits ”=” liefert.

Beweis von: $(A\cup B)\setminus (A\cap B)=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

Dies ist eine alternative Charakterisierung der symmetrischen Differenz $A△B$.

”⊆”: Sei $x\in (A\cup B)\setminus (A\cap B)$.

${⟶}^{\text{Def.}\setminus }(x\in A\cup B)\wedge (x\notin A\cap B)$ ${⟶}^{\text{Def.}\cup ,\cap }(x\in A\vee x\in B)\wedge (x\notin A\vee x\notin B)$

Jetzt wird distributiv ausmultipliziert:

${⟶}^{\text{Distributivgesetz}}((x\in A\vee x\in B)\wedge x\notin A)\vee ((x\in A\vee x\in B)\wedge x\notin B)$ $⟶((x\in A\wedge x\notin A)\vee (x\in B\wedge x\notin A))\vee ((x\in A\wedge x\notin B)\vee (x\in B\wedge x\notin B))$

Die beiden Terme $(x\in A\wedge x\notin A)$ und $(x\in B\wedge x\notin B)$ sind Kontradiktionen (siehe 01 Aussagenlogik) und fallen weg:

$⟶(x\in B\wedge x\notin A)\vee (x\in A\wedge x\notin B)$ $⟶(x\in B\setminus A)\vee (x\in A\setminus B)$ $⟶x\in (A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

”⊇”: Wieder als Doppelbeweis (in beide Richtungen durchführen) — oder prüfen, welche Schritte bereits Äquivalenzen waren.

Alternative: Diagrammbeweis

Wenn keine Lust auf einen vollständigen schriftlichen Beweis besteht, ist auch ein Venn-Diagramm-Beweis zulässig: Man zeichnet beide Seiten der Gleichung als schattierte Bereiche in einem Venn-Diagramm mit den Mengen $A,B$ und prüft, dass dieselben Bereiche schattiert sind.

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4.4 Zusammenfassung: Analogie Aussagenlogik ↔ Mengenlehre

Diese Tabelle fasst zusammen, warum sich die Regeln aus 01 Aussagenlogik eins-zu-eins auf Mengenoperationen übertragen:

Aussagenlogik	Mengenlehre
$\wedge$ (und)	$\cap$ (Schnitt)
$\vee$ (oder)	$\cup$ (Vereinigung)
$\neg$ (nicht)	$\setminus$ bzw. Komplement
Kommutativität, Assoziativität, Distributivgesetz	identisch übertragbar
Tautologie	Allgemeingültige Mengenidentität

Dieser Zusammenhang ist der Grund, warum man beim Mengen-Beweisen (wie oben) ständig auf die Regeln aus Kapitel 1 zurückgreift: Jede Aussage "$x\in \dots$" wird zu einer aussagenlogischen Formel, und die Mengenmanipulation ist nichts anderes als aussagenlogisches Umformen “unter dem $x\in$-Mantel”.