01 Zahlensysteme

Zahlensysteme

1.1 Stellenwertsysteme

Eine Zahl wird als Folge von Ziffern geschrieben, jede Stelle hat einen Stellenwert (eine Potenz der Basis):

System	Basis	Ziffern	Kennzeichnung
Dual (binär)	2	0, 1	–
Oktal	8	0–7	–
Dezimal	10	0–9	–
Hexadezimal	16	0–9, A–F (A=10, …, F=15)	angehängtes H, z.B. 6AH

Wert einer Dualzahl

$b_{n-1}\dots b_1{b}_0={\sum }_{k=0}^{n-1}{b}_k\cdot 2^k$

Beispiel $01101010_2$:

Bit	0	1	1	0	1	0	1	0
Stellenwert	$2^7=128$	$2^6=64$	$2^5=32$	$2^4=16$	$2^3=8$	$2^2=4$	$2^1=2$	$2^0=1$

$64+32+8+2=106=6AH$

1.2 MSB und LSB

• MSB (Most Significant Bit): das höchstwertige Bit, ganz links.
• LSB (Least Significant Bit): das niederwertigste Bit, ganz rechts.

Warum das wichtig ist: Bitfehler

Ein gekipptes Bit richtet je nach Position sehr unterschiedlich viel Schaden an. Am Beispiel 106:

• MSB-Fehler ($0\to 1$): $106+128=234$. Der Wert ist völlig falsch.
• LSB-Fehler ($0\to 1$): $106+1=107$. Der Wert ist nur um 1 daneben.

1.3 Dezimal → Dual

Verfahren A: fortgesetzte Division durch 2. Die Reste ergeben die Bits, von unten nach oben gelesen:

	Quotient	Rest
$106:2$	53	0
$53:2$	26	1
$26:2$	13	0
$13:2$	6	1
$6:2$	3	0
$3:2$	1	1
$1:2$	0	1

Von unten gelesen: $1101010_2$ (= $01101010_2$ mit führender 0).

Verfahren B: größte Zweierpotenzen abziehen. Immer die größte Potenz abziehen, die noch passt. An dieser Stelle steht eine 1:

$106-64=42,42-32=10,10-8=2,2-2=0\Rightarrow 64,32,8,2\Rightarrow 1101010_2$

Welches Verfahren?

Verfahren B geht im Kopf schneller, solange man die Zweierpotenzen bis 1024 auswendig kann. Verfahren A ist mechanisch und klappt immer.

1.4 Dual ↔ Hex und Dual ↔ Oktal

Da $16=2^4$ und $8=2^3$, entspricht eine Hex-Ziffer genau 4 Bits und eine Oktalziffer genau 3 Bits.

Verfahren

Bits von rechts in Gruppen zu 4 (Hex) bzw. 3 (Oktal) einteilen, links ggf. mit Nullen auffüllen, jede Gruppe einzeln umrechnen.

Beispiel $10101101_2$ (aus der Übung):

• Dezimal: $128+32+8+4+1=173$
• Hex: $1010|1101=A|D=ADH$
• Oktal: $(0)10|101|101=2|5|5=255_8$

Fallstrick: Gruppieren von rechts

$301=100101101_2$. Von links in Vierergruppen ($100101101$) kommt Unsinn heraus. Von rechts: $1|0010|1101=12DH$. ✓

1.5 Übungsaufgaben 14.10. (alle nachgerechnet ✓)

Dual	Dezimal	Hex	Oktal
$10101101$	173	ADH	255
$10001100$	140	8CH	214
$100010001100$	2188	88CH	4214
$10101010$	170	AAH	252
$100101101$	301	12DH	455
$1111101010$	1002	3EAH	1752

Selbsttest

1. Wie viele verschiedene Werte kann man mit 8 Bit darstellen, und welcher ist der größte?
2. Rechne $3EAH$ direkt in Oktal um, ohne über Dezimal zu gehen. (Tipp: erst nach Dual.)

Offen

Aufgabe 3 der Übung (Rechnen mit Dualzahlen) liegt laut Mitschrift in OneNote und ist hier noch nicht enthalten.

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