06 Relationen

6. Relationen

Voraussetzung: 05 Fundiertheit, Paare und Produkte (kartesisches Produkt $A\times B$)

6.1 Definition

Definition: Relation

Eine Relation von $A$ nach $B$ ist eine Teilmenge von $A\times B$: $R\subseteq A\times B$

Beispiel:

• $A=\{\text{Peter, Paul, Mary}\}$, $B=\{\text{Java, C, Python, Lisp}\}$
• $R=\{(\text{Peter, Java}),(\text{Peter, Lisp}),(\text{Paul, Python}),(\text{Mary, Java}),(\text{Mary, C}),(\text{Mary, Python}),(\text{Mary, Lisp})\}$

Man kann sich $R$ hier vorstellen als “Person $x$ kann Programmiersprache $y$“.

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6.2 Relationale Schreibweise

Für $R\subseteq A\times B$ schreibt man:

Notation	Bedeutung
$aRb$	Abkürzung für $(a,b)\in R$ (“a steht in Relation zu b”)
$a/Rb$	Abkürzung für $(a,b)\notin R$ (“a steht nicht in Relation zu b”)
$R^{-1}:=\{(b,a):(a,b)\in R\}\subseteq B\times A$	Umkehrrelation von $R$

Eigenschaft der Umkehrrelation: $(R^{-1}{)}^{-1}=R$ — zweimaliges Umkehren liefert die ursprüngliche Relation zurück.

Relation auf einer Menge

Im Fall $A=B$ sagt man: $R\subseteq A\times A$ ist eine Relation auf $A$ (auch: zweistellige oder binäre Relation auf $A$).

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6.3 Wichtige Beispiele für Relationen auf $A$

Diese Beispielsammlung lohnt sich, um ein Gefühl für die Bandbreite des Relationsbegriffs zu bekommen:

1. Allrelation: $R:=A\times A$ — jedes Element steht mit jedem in Relation.

2. Nullrelation: $R:=\varnothing \subseteq A\times A$ — kein Element steht mit irgendeinem in Relation.

3. Gleichheitsrelation: $R:=\{(x,y)\in A\times A:x=y\}$ — man schreibt "$=$" für diese Relation $R$.

4. Nachbarschaft von Ländern: $A$ = Menge der Staaten Europas, $R:=\{(x,y)\in A\times A:x\ne y\text{ und }x,y\text{ haben eine gemeinsame Grenzlinie}\}$

5. Kleiner-gleich-Relation: $R:=\{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}:x\text{ ist ho¨chstens so groß wie }y\}$ — man schreibt "$\le$" für diese Relation.

6. Netzwerkverbindungen: $A$ = Menge der Knoten eines Netzwerks, $R:=\{(x,y)\in A\times A:x\ne y\text{ und es gibt eine direkte Verbindung von }x\text{ nach }y\}$

7. Funktionsgraph: $R:=\{(x,x^2):x\in \mathbb{R}\}\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ — der Graph der Normalparabel. Dies zeigt: Funktionen sind Spezialfälle von Relationen (zu jedem $x$ gibt es hier genau ein zugehöriges $y=x^2$).

8. Teilbarkeitsrelation: Eine Zahl $a\in \mathbb{Z}$ ist Teiler der Zahl $b\in \mathbb{Z}$, wenn $b$ ein ganzzahliges Vielfaches von $a$ ist. Schreibweise: $a\mid b$ (“a teilt b”). Dies definiert die Relation: $\mid :=\{(x,y)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}:x\text{ ist Teiler von }y\}$

   Beispiele: $2\mid 8$, $-5\mid 25$, $117\mid 0$, $0\mid 0$, aber $0\nmid 117$.

   Merke zur Teilbarkeit durch 0 $0=a\cdot 0$ für jedes $a$), aber nur 0 selbst wird von 0 geteilt (da $0\cdot k=0\ne 117$ für kein $k$ existieren kann, mit dem man 117 erreicht).

   Jede Zahl teilt 0 (da

9. Teilmengenrelation: Für eine Menge $M$ wird durch $R:=\{(x,y):x\subseteq y\}$ eine Relation auf allen Teilmengen von $M$ definiert (formal: $R\subseteq \mathfrak{P}(M)\times \mathfrak{P}(M)$, aufgebaut über die Konstruktion aus 05 Fundiertheit, Paare und Produkte).

10. Elementbeziehung: Auch $\in$ selbst definiert eine Relation auf jeder Menge von Mengen.

Warum diese Beispiele wichtig sind

Diese zehn Beispiele sind bewusst sehr unterschiedlich (Gleichheit, Ordnung, Graphen, Teilbarkeit, Mengenbeziehungen) — sie zeigen, dass der abstrakte Relationsbegriff ($R\subseteq A\times A$) extrem viele konkrete, aus dem Alltag und der Mathematik bekannte Konzepte einheitlich erfasst. Spätere Eigenschaften von Relationen (Reflexivität, Symmetrie, Transitivität, Ordnungen, Äquivalenzrelationen — noch nicht in diesen Vorlesungen behandelt) bauen direkt auf diesen Beispielen auf, besonders auf 3 (Gleichheit), 5 (Ordnung $\le$), 8 (Teilbarkeit) und 9 (Teilmenge).