221026 Vorlesung

2.4.6 G6 Rechnen mit Grenzwerten

Gilt $a_n\to a$ und $b_n\to b$, so gelten die folgenden Aussagen

$$\begin{array}{ccccc}& \begin{array}{c}a\in \mathbb{R}\\ b\in \mathbb{R}\end{array}& \begin{array}{c}a\in \mathbb{R}\\ b=\infty \end{array}& \begin{array}{c}a=\infty \\ b\in \mathbb{R}\end{array}& \begin{array}{c}a=\infty \\ b=\infty \end{array}\\ a_n+b_n\to & a+b& \infty & \infty & \infty \\ a_n-b_n\to & a-b& -\infty & \infty & ?\\ a_n\cdot b_n\to & a\cdot b& \left\{\begin{array}{c}\infty a>0\\ ?a=0\\ -\infty a<0\end{array}\right\}& \left\{\begin{array}{c}\infty b>0\\ -\infty b<0\\ ?b=0\end{array}\right\}& \infty \\ \frac{a_n}{b_n}\to & \left\{\begin{array}{c}\frac{a}{b}b\ne 0\\ \ast \end{array}\right\}& 0& \left\{\begin{array}{c}\infty b>0\\ -\infty b<0\\ \text{Kein GW bei Vorzeichen wechsel}\end{array}\right\}& ?\\ (a_n{)}^{b_n}{a}_n>0\to & a^b(a,b)\ne (0,0)& \left\{\begin{array}{c}\infty a>1\\ 0a<1\\ ?a=1\end{array}\right\}& \left\{\begin{array}{c}\infty b>0\\ 0b<0\\ ?b=0\end{array}\right\}& \infty \end{array}$$

STERNCHEN: $\begin{array}{c}a\ne 0\\ b=0\end{array}\left\{\begin{array}{c}\infty \frac{a_n}{b_n}>0\\ -\infty \frac{a_n}{b_n}<0\\ \text{Kein GW }\left(\frac{a_n}{b_n}\right)\text{ wechselt Vorzeichen}\end{array}\right\}$ 7 unbestimmte Ausrücke $\infty ,-\infty ,0\cdot \infty ,\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },0^0,1^{\infty },{\infty }^0$ $0^0$ ist eigentlich 1, AUßER bei den Grenzwerten

2.4.6.1 Beispiele in Onenote, NOCHMAL DURCHGEHEN!!!!

2.4.7 G7 Grenzwerte von Wurzeln

Sei $a_n$ eine Folge mit $a_n\ge 0\forall n$

Ist ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n+1}{a_n}=q$ so gilt: ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n+1}{a_n}={\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{a_n}=q$

Beispiel: ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{n+1}{n}={\lim }_{n\to \infty }1+\frac{1}{n}=1$ $a_n=n$

2.5 Monotonie und Beschränktheit

2.5.1 Monotonie

Eine Funktion $f:D\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ heißt

$\left\{\begin{array}{c}\text{Streng monoton wachsend}\\ \text{monoton wachsen}\\ \text{Streng monoton fallend}\\ \text{monoton fallend}\end{array}\right\}⟺\forall x_1,x_2\in D:x_1<x_2⟹\left\{\begin{array}{c}f(x_1)<f(x_2)\\ f(x_1)\le f(x_2)\\ f(x_1)>f(x_2)\\ f(x_1)\ge f(x_2)\end{array}\right\}$

Folgen sind spezielle Funktionen $D=\mathbb{N}$

Behauptung: $a_n$ ist

$$\left\{\begin{array}{c}\text{Streng monoton wachsend}\\ \text{monoton wachsend}\\ \text{Streng monoton fallend}\\ \text{monoton fallend}\end{array}\right\}⟺\forall n\left\{\begin{array}{c}{a}_n<a_{n+1}\\ a_n\le a_{n+1}\\ a_n>a_{n+1}\\ a_n\ge a_{n+1}\end{array}\right\}$$

$\underset{\text{Fu¨r str. m. w.}}{\underbrace{\text{Beweis}}}$: $⟺\begin{array}{c}{x}_1=n\\ x_2=n+1\end{array}⟺a_n<a_{n+1}$

• Seien $x_1=x_2\in D=\mathbb{N}$
• $$\begin{array}{rl}& x_1=n\\ & x_2=m>n\\ & \text{also }{x}_2=n+rr\in \mathbb{N}\end{array}$$
• $a_n<a_{n+1}<a_{n+2}<\cdots <a_{n+r}=a_m$

2.5.2 Beschränktheit

• S heißt $\frac{\text{obere}}{\text{untere}}$ Schranke von $a_n$ falls $\forall n:\begin{array}{c}{a}_n\le 5\\ a_n\ge 5\end{array}$
• $a_n:$ heißt:
  • nach oben beschränkt = es gibt obere Schranke
  • nach unten beschränkt = es gibt untere Schranke
  • beschränkt = es gibt obere und untere Schranke Beispiel: $a_n=1+\frac{1}{n}$
• $0<\frac{1}{n}\le 1⟹1<1+\frac{1}{n}\le 2$
• $S=2$ ist obere Schranke von $a_n$
• S = 1 ist untere Schranke von $a_n$
• $a_n$ ist beschränkt Beobachtung:
• Jede monoton wachsende Folge ist nach unten beschränkt $S=a_n$
• Jede monoton fallende Folge ist nach oben beschränkt $S=a_n$

Beweis:

• Behauptung: $\forall n:a_n\ge a_1$
• Induktionsanfang:
  • Behauptung: $a_1\ge a_1$ true
• Induktionsschritt:
  • Vorraussetzung: $a_n\ge a_1$
  • Behauptung: $a_{n+1}\ge a_1$
  • Beweis: $a_{n+1}\underset{\text{Monotonie}}{\underbrace{\ge }}{a}_n\underset{\text{Vor.}}{\underbrace{\ge }}{a}_1$