101026 Vorlesung

Differentialrechnung - Kapitel 1

für Funktionen $f:D\le \mathbb{R}\to \mathbb{R}$

1. Abbildung aus $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$

1.1 Zahlbereiche

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4\dots \}\text{ Menge der natu¨rlichen Zahlen }{\mathbb{N}}_0=\mathbb{N}\cup \{0\}$ $\mathbb{Z}=\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots \}\text{Menge der ganzen Zahlen}$ $\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}|\begin{array}{c}m,n\in \mathbb{Z}\\ n\ne 0\end{array}\right\}\text{ Menge der rationalen Zahlen}$ $\mathbb{R}=\text{ Menge der reellen zahlen fu¨r z.B. }\sqrt{2}=x\text{ oder }e=x$

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1.2 Abbildungen

Eine Abbildung / Funktion aus $\mathbb{R}\text{ in }\mathbb{R}$ ist eindeutig definiert durch

1. Angabe einer Menge $D\le \mathbb{R}\text{ Definitionsbereich von }f$
2. eine eindeutige Vorschrift die jedem Element $x\in D\text{ genau ein }y\in \mathbb{R}$ zuordnet

Schreibweisen: $x\in D\mapsto y=f(x)\in \mathbb{R}$

$\mapsto$ = wird zugeordnet

$f:D\le \mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{ f ist Abbildung von D in }\mathbb{R}$

Sprechweisen:

• x: Argument vor f (unabhängige Variable)
• y: abhängige Variable
• f(a): Funktionswert von f an der Stelle x=a, Bild von f an der Stelle x=a Bezeichnungen:
• Graph f ${\Gamma }_F=\{(x,y)\mid x\in D,y=f(x)\}\{(x,f(x))\mid x\in D\}$ Wertebereich: $W=\{f(x)\mid x\in D\}$ Nullstellen: $\text{Argument }x\in D\text{ mit }f(x)=0$

1.3 Beispiele

1. Identische Abbildung: $I{d}_R:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{ mit }id(x)=x\text{ fu¨r alle }x\in \mathbb{R}$ $D=\mathbb{R},W=\mathbb{R}$

y=x

2. $$\begin{array}{rl}D\le \mathbb{R}\to \mathbb{R}& f(x)=\frac{x}{x^2-1}=\frac{x}{(x+1)(x-1)}\\ D_1=\mathbb{R}\setminus \{1,-1\},W_1=\mathbb{R}& \\ & \\ \text{Annahme, }x\ge 3& \\ D_2=\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 3\}=[3,\infty )& \\ W_2=\{f(x)\mid x\ge 3\}=\left\{y\mid 0<y\le \frac{3}{8}\right\}=\left(0,\frac{3}{8}\right]& \end{array}$$

   y=\frac{x}{x^{2}-1}
    
   y=\frac{x}{x^{2}-1}|x\geq3|red

   3. Floor-Funktion

$$\begin{array}{r}f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}f(x)=\lfloor x\rfloor =\text{ gro¨ßte ganze Zahl }\le x\\ D=\mathbb{R},W=\mathbb{Z}\\ \lfloor 0,1\rfloor =0\\ \lfloor 2\rfloor =2\\ \lfloor -1,1\rfloor =-2\end{array}$$

y=\operatorname{floor}(x)

4. Ceiling Funktion

   $$\begin{array}{r}f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{ mit }f(x)=\lceil x\rceil =\text{ kleinste ganze Zahl }\ge x\\ D=\mathbb{R},W=\mathbb{Z}\end{array}$$

   y=\operatorname{ceil}(x)

5. Betrags - Funktion

   $$\begin{array}{r}f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{ mit }f(x)=|x|\left\{\begin{array}{c}x\text{ fu¨r }x\ge 0\\ -x\text{ fu¨r }x<0\end{array}\right\}\\ D=\mathbb{R},W=\{y\in \mathbb{R}\mid y\ge 0\}=[0,\infty )\end{array}$$

1.4 Arithmetische Operationen für Funktionen

Sind $f,g:D\le \mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{ Funktionen}$ So lassen sich neue Funktionen konstruieren

1. Summe / Diferenz $f+g:D\to \mathbb{R}(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ $f-g:D\to \mathbb{R}(f-g)(x)=f(x)-g(x)$, für alle $x\in D$
2. Produkt $f\cdot g:D\to \mathbb{R}(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$, für alle $x\in D$
3. Quotient $\frac{f}{g}:D^{\prime }\to \mathbb{R}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, für alle $x\in D^{\prime }=\{x\in D\mid g(x)\ne 0\}$
4. Vielfache $\alpha \in \mathbb{R}$ $\alpha f:D\to \mathbb{R}(\alpha f)(x)=\alpha \cdot f(x)$
5. Nullfunktion $0\cdot D\le \mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{ mit }0(x)=0\text{ fu¨r alle x}$ Regel: $f+0=f$ $f+(-f)=0$

1.5 Spezielle Funktionsklassen

1. Polynomabbildungen Eine Abb. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{ mit }f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ mit $a_0,\dots ,a_n\in \mathbb{R}$ heißt Polynomfunktion vom Grad n falls $a_n\ne 0$ Die Werte $a_0,\dots ,a_n\in \mathbb{R}$ heißen Koeffizienten des Polynoms f

   1. Nullpolynom: $f(x)=0$ für alle x (alle Koeffizienten 0) grad $(f)=-\infty$
   2. konstantes Polynom: $f(x)=a\text{ fu¨r ein }a\ne 0,\text{ grad }f=0$
   3. (affin) lineares Polynom: $f(x)=ax+ba\ne 0,\text{ grad }f=1$ Satz: Ein Polynom von Grad $n\ge 0$ über $\mathbb{R}$ hat höchstens n Nullstellen (Beweis später)

2. Exponentialfunktionen Eine Abb. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ mit $f(x)=a^x\text{ fu¨r ein }a>0$ heißt allgemeine Exponentialfunktion

   Satz: Sind a,b > 0 reelle Zahlen so gilt für alle $x\in \mathbb{R}$ $a^x=(b^{{\log }_{b}a}{)}^x=b^{x\cdot {\log }_{b}a}$

   Tatsächlich definiert man zuerst $e^x,\ln x$ und dann $a^x:=e^{x\cdot \ln a}$

3. weitere Funktionsklassen

   • rationale Funktionen $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$p, q Polynome
   • logarithmusfunktionen $f(x)={\log }_{b}x=y⟺b^y=x$
   • trigonometrische Funktionen $f(x)=\cos x,f(x)=\sin x,f(x)=\tan x,f(x)=\cot x$

2. Folgen

2.1 Definition

Eine Abbildung $a:\mathbb{N}\le \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ heißt (unendliche) Folge über $\mathbb{R}$ Man nennt dann $a_n:=a(n)$ das n-te Folgenglied der Folge a und Index von $a_n$

Man schreibt dann $a_n$ $a=(a_1,a_2,a_3,\dots )=(a_n{)}_{n\ge 1}=(a_n)$

Bemerkung:

1. Statt $\mathbb{N}$ taucht auch ${\mathbb{N}}_0\text{ oder }\{n\in \mathbb{N},n\ge m\}$ als Definitionsbereich auf, also z.b. $(a_1,a_2,a_3,\dots )(a_7,a_8,a_9,\dots )$
2. Es gibt auch Folgen über anderen Mengen $a:\mathbb{N}\to X$ X irgendeine Menge, man spricht von X-Folgen z.B. Punktfolgen in ${\mathbb{R}}^n$, $a_n$ ist Punkt im ${\mathbb{R}}^n$