191026 Vorlesung

2.3 Grenzwert und Konvergenz von Folgen.

2.3.1 Limesschreibweise

${\lim }_{n\to \infty }=a_n=g$ bzw. $a_n\to g$ oder $a_n{\to }^{n\to \infty }g$

• Limes von $a_n$ für n gegen unendlich ist gleichg
• Folge ($a_n$) konvergiert für n gegen $\infty$ gegen g

2.3.2 Approximation einer Zahl $g\in \mathbb{R}$

1. $x\in \mathbb{R}$ heißt $ϵ$-Näherung von g falls $|x-g|<y$ $|x-g|=$absoluter Fehler der Näherung bzgl g $ϵ=$Fehlerschranke Beispiel: - $g=\sqrt{2}\approx 1.4142$ - $x=\frac{17}{12}=1.41\overline{6}$ - $|x-g|$ lässt sich nicht exakt angeben - $|x-g|<0.003=3\cdot 10^{-3}=:ϵ$

2. $|x-g|=ϵ⟺x-g=\pm ϵ⟺x=g-ϵx=g+3$ $|x-g|<ϵ⟺-ϵ<x-g<ϵ⟺g-ϵ<xy<g+ϵ$ $U_{ϵ}(g)=(g-ϵ,g+ϵ)$ $ϵ$-Umgebung von g $x\in U(g)⟺|x-g|<3$

3. ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=g$ bedeutet für großes n wird der absolute Fehler $f_n=|a_n-g|$ beliebig klein für jede Fehlerschranke $ϵ>0$ gilt $a_n\in U_{ϵ}(g)$ für fasst alles $n\in \mathbb{N}$ (für alle $n\in \mathbb{N}$ bis auf endlich viele Ausnahmen)

   d.h. es gibt Index $N\in \mathbb{N}$, so dass für alle $n>N$ gilt $|a_n-g|<ϵ$

   $a=(\underset{\text{Keine Forderung}}{\underbrace{a_1,a_2,a_3,\dots ,a_N}},\underset{\text{alle aus }{U}_{ϵ}(g)}{\underbrace{a_{N+1},\dots }})$

2.3.3 Definition

Folge $(a_n)n\ge 1$, Zahl $g\in \mathbb{R}$

1. ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=g⟺\underset{\text{Nicht ganz sauber}}{\underbrace{\forall ϵ>0\exists N\in \mathbb{N}\forall n>N}}:|a_n-g|<ϵ$ $⟺\forall ϵ>0\exists N\in \mathbb{N}\forall n\in \mathbb{N}:n>N⟹|a_n-g|<ϵ$
2. ${\lim }_{n\to \infty }=\left\{\begin{array}{c}+\infty \\ -\infty \end{array}\right\}⟺\forall \underset{\text{Schranken}}{\underbrace{S}}\in \mathbb{R}\exists N\in \mathbb{N}\forall n\in \mathbb{N}:n>N⟹\begin{array}{c}{a}_n>S\\ a_n<S\end{array}$

2.3.4 Sprechweisen

Folge $a_n$ heißt:

• Konvergent: falls $a_n$ einen endlichen Grenzwert $g\in \mathbb{R}$ hat
• divergent: falls $a_n$ keinen endlichen Grenzwert $g\in \mathbb{R}$ hat
  • bestimmt divergent: falls GW$=\pm \infty$
  • unbestimmes divergent: falls $a_n$ keinen GW hat

Nullfolge = Folge mit $g=0$

2.3.5 Beispiel

• Sei $a_n$ folge mit $a_n=2+\frac{\cos n}{n},n\ge 1$ Behauptung: ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=2$ Beweis zu zeigen
• $\forall ϵ>0\exists N=N(ϵ)\forall \in \mathbb{N}n>N\to |a_n-2|<ϵ$
• $f_n=|a_n-2|=\left|\frac{\cos n}{n}\right|=\frac{|\cos n|}{n}$
• $f_n<ϵ$ lässt sich nicht nach $n$ auflösen
• $f_n=\frac{|\cos n|}{n}\le \frac{1}{n}\frac{1}{n}<ϵ⟺\frac{n>1}{ϵ}(ϵ>0)$
• $N(ϵ)=\lceil \frac{1}{ϵ}\rceil \ge \frac{1}{ϵ}$ Also $n>N(ϵ)=\lceil \frac{1}{ϵ}\rceil \ge \frac{1}{ϵ}⟺f_n\le \frac{1}{n}<ϵ$ Also $n>\lceil \frac{1}{ϵ}\rceil ⟺|a_n-2|<ϵ$

Damit ist ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=2$ $ϵ=\frac{1}{10}⟹N(ϵ)=10$ Ab 11. Folgenglied ist $|a_n-2\frac{|<1}{10}$

2.4 Grenzwertregeln

Seien $(a_n),(b_n),(c_n)$ Folgen über $\mathbb{R}$ und $a,b,c\in \mathbb{R}\vee \{\pm \infty \}$

2.4.1 G1

$a_n\to a{b}_n=a_n$ für $n\ge n_0⟹b_n\to a$

2.4.2 G2

Hat $a_n$ den GW a, dann hat jede Teilfolge ($b_n$) von ($a_n$) auch den GW a Typische Teilfolgen $b_n$

• $b_n=(a_2,a_4,a_6,a_8,\dots )b_n=a_{2n}$ für $n\ge 1$
• $b_n=(a_5,a_6,a_7,a_8,\dots )b_n=a_{n+4}$ für $n\ge 1$

Anwendungsbeispiel:

$$\begin{array}{rl}& a_n=(-1{)}^n\cdot n=(-1,2,-3,4,-5,6,\dots )\\ & b_n=a_{2n}=(-1{)}^{2n}\cdot 2n=2n{b}_n\to \infty \\ & c_n=a_{2n-1}=(-1{)}^{2n-1}\cdot (2n-1)=-(2n-1)b_n\to \infty \end{array}$$

• Teilfolge $b_n$ und $c_n$ haben verschiedene GW
• $⟹a_n$ hat keinen GW (divergent)

2.4.3 G3 Grenzwertübergang

Besitzen $b_n$ und $c_n$ einen GW, so gelten folgende Aussagen: $\forall n>n_0{b}_n\le c_n⟹{\lim }_{n\to \infty }{b}_n\le {\lim }_{n\to \infty }{c}_n$

$\begin{array}{c}\forall n\ge n_0{b}_n\le a_n\le c_n\wedge {\lim }_{n\to \infty }{b}_n={\lim }_{n\to \infty }{c}_n=g\\ ⟹{\lim }_{n\to \infty }{a}_n=g\end{array}$ SANDWICH_PRINZIP

Beispiel:

$$\begin{array}{rl}& a_n=\frac{\sin n}{n}-\frac{1}{n}\le a_n\le \frac{1}{n}-\frac{1}{n}\to 0,\frac{1}{n}\to 0\\ & \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0\end{array}$$

2.4.3.1 ZUSATZ Beweis

2.4.4 G4 Fehlerfolge

$a_n\to g⟺f_n=|a_n-g|\to 0g\in \mathbb{R}$ folgt aus Definition

2.4.5 Nullfolge / Kehrwert

$$\begin{array}{rl}& a_n\to 0,a_n>0\text{ fu¨r }n\ge n_0⟹\frac{1}{a_n}{⟶}^{n\to \infty }-\infty \\ & a_n\to 0,a_n>0\text{ fu¨r }n\ge n_0⟹\frac{1}{a_n}{⟶}^{n\to \infty }-\infty \\ & \left|a_n\right|\to \infty ⟹\frac{1}{a_n}\to 0\end{array}$$

Beweis der ersten Regel:

Vorraussetzung: $a_n\to 0$ d.h. $\forall ϵ>0\exists N\forall n>N|a_n|<ϵ$ $a_n\ge 0n\ge n_0$ $a_n<ϵ$ Behauptung: $\frac{1}{a_n}\to +\infty$ d.h. $\forall S\exists N\forall n>N$ Beweis: Sei $S\in \mathbb{R}$ beliebige Schranke $\ge 0$ $\frac{1}{a_n}>S⟺\frac{a_n<1}{S}=:ϵ$

Laut Vor. gilt für $ϵ=\frac{1}{S}\exists N\forall n>N:\frac{a_n<1}{S}$ also $\frac{1}{n}>S$