261026 Vorlesung

Fundiertheit

Zu jeder nichtleeren Menge A exisiter ein Element x aus A mit $x\cap A=\varnothing$ (man sagt: x und A sind disjunkt $\text{falls }x\cap A=\varnothing$)

Beispiel: Aus der Fundiertheit folgt: $x\notin x$ für jede Menge x

• Beweis: Annahme $x\in x$. DIe Menge $A:=\{x\}$ (Parrungsaxion) ist nicht leer und muss wegen der Fundiertheit ein z.A. disjunktes Element enthalten; diese kann nur x sein (x ist das einzige Element in A). Aber: x ist nicht disjunkt zu A, denn nach Annahme und Wahl von A ist $x\in x\cap A$ STROMSCHLAGZEICHEN
• Auch $a\in b\in a$ tritt nicht ein. Die Menge $\{a,b\}$ enthält ein zu $\{a,b\}$ disjunktes Element, wäre $a\in b\in a$, so kann dieses nicht a sein, denn $b\in a\cap \{a,b\}$ Aber $\{a,b\}$ enthällt nur a und b STROMSCHLAGZEICHEN
• Allgemein: Es gibt keine Menge $\{a_1,\dots ,a_n\}$ mit $a_1\in a_2\in \cdots \in a_n\in a_1$

Paare nach Kwatowski

Für zwei Mengen a,b definiere $(a,b):=\{a,\{a,b\}\}$ (Kurzversion)

Für zwei Paare $(a,b),(c,d)$ gilt $(a,b)=(c,d)⟷a=c\wedge b=d$ $\text{"}⟵\text{"}:(a,b)=\{a,\{a,b\}\}=\{c,\{c,d\}\}=(c,d)$ $\text{"}⟶\text{"}:\text{Gelte }(a,b)=(c,d)\to \{a,\{a,b\}\}=\{c,\{c,d\}\}$

1. Fall: $a=c\wedge \{a,b\}=\{c,d\}⟶a=c\wedge b=d$
2. Fall: $a=\{c,d\}\wedge c=\{a,b\}⟶a\in \{a,b\}=c\in \{c,d\}=a⟶a\in c\in a$ STROMSCHLAGZEICHEN Fundiertheit

Man kann ein Prädikat $p(x,a,b)$ formulieren, das genau dann wahr ist, wenn $x=(a,b)$ Für zwei Mengen A, B sei $A\times B$ die Menge aller Paare $(a,b)$ mit $a\in A$ und $b\in B$

• $\{(a,b):a\in A,b\in B\}=A\times B$
• Ein paar besteht aus einem Element aus A und einer Teilmenge von $A\cup B$, d.h. einen Element von $\text{Potenzmenge}(A\cup B)$
• Das Paar ist also eine Teilmenge von $A\cup \text{Potenzmenge}(A\cup B)$, also ein Element von $\text{Potenzmenge}(A\cup \text{Potenzmenge}(A\cup B))$
• folglich lassen sich die Paare $(a,b)$ as der (gesicherten) Menge $\text{Potenzmenge}(A\cup \text{Potenzmenge}(A\cup B))aussondern$

Beispiel: $\{1,2,3\}\times \{1,5,7\}=\{(1,1),(1,5),(1,7),(2,1),(2,5),(2,7),(3,1),(3,5)(3,7)\}$ Menge der Form $A\times B$ heißen auch Rechteckmengen

Daraus kann man Tripel $\underset{(a,(b,c))}{\underbrace{(a,b,c)}}$, Quadrupel $(a,b,c,d)$, usw. Konstruieren. Die entsprechenden Mengen aller Tripel, Quadrupel, etc werden mit $A\times B\times C$ etc. bezeichnet Das große Mengenprodukt für eine sogenannte Familie $(A_j{)}_{j\in I}$ von mengen ist definiert durch ${\prod }_{j\in I}j=\{f:f\text{ Funktion von I nach }\cup A_j\text{ mit }f(j)\in A_j\}$

Relationen

Eine Relation von A nach B ist eine Teilmenge von $A\times B$, etwa $R\subseteq A\times B$ z.Bsp.:

• A={Peter, Paul, Mary}, B={Java, C, Python, Lisp}
• R={(Peter, Java), (Peter, Lisp), (Paul, Python), (Mary, Java), (Mary, C), (Mary, Python), (Mary, Lisp)}

Relationale Schreibweise: Für $R\subseteq A\times B$ schreibe

• $aRb$ für $(a,b)\in R$ (a steht in relation zu b)
• $a/Rb$ für $(a,b)\notin R$ (a steh nicht in Relation zu b)
• $R^{-1}:=\{(b,a):(a,b)\in R\}\subseteq B\times A$ ist Relation von B nach A
• die Umkehrrelation von R $((R^{-1}{)}^{-1}=R)$
• Im Fall $A=B$ sagt man, $R\subseteq A\times A$ ist Relation auf A
• (auch zweistellige oder binäre Relation auf A)

Beispiele von

Relationen auf A

1. $R:=A\times A$ Allrelation auf A
2. $R:=\varnothing \subseteq A\times A$ Nullrelation
3. Gleichheitsrelation auf A: $R:=\{(x,y)\in A\times A:x=y\}$, schreibe ”=” für R
4. A. Menge der Staaten Europas, $R:=\{(x,y)\in A\times Ax\ne y\text{ und x,y haben gemeinsame Grenzlinie}\}$
5. $R:=\{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}:x\text{ ist ho¨chstens so groß wie y}\}$, schreibe "⇐" für R
6. A: Menge der Knoten eines Netzwerks $R:=\{(x,y)\in A\times A:x\ne y\text{ es gibt eine direkte Verbindung von x nach y}\}$
7. $R:=\{(x,x^2):x\in \mathbb{R}\}\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ (Graph der Normalparabel)
8. Wir sagen: EIne Zahl $a\in \mathbb{Z}$ ist Teiler der Zahl $b\in \mathbb{Z}$, wenn $b$ ein ganzzahliges Vielfaches von a ist, und schreiben: $a|b$, lies a teilt b Dies definiert eine Relation $|:=\{(x,y)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}:x\text{ ist Teiler von y}\}$ $2|8-5|25117|00|00/|117\dots$
9. M Menge durch $R:=\{(x,y):x\subseteq y\}$ wird eine Relation af allen Teilmengen von M definiert ($R\subseteq \text{Potenzmenge}(M\times \text{Potenzmenge}(M))$)
10. Auch $\in$ definiert eine Relation auf jeder Menge von Mengen.