231026 Vorlesung

Paarmengenaxiom

Zu Mengen x,y existier eine Menge, die genau die Menge x und y als Elemente enthält

Schreibweise: $\{x,y\}$, im Fall $x=y:\{x\}$

Vereinigungsaxiom

Zu jeder Menge $A$ gibt es eine Menge, die aus genau denjenigen Mengen besteht, die in wenigstens einem Element aus $A$ als Element enthalten sind. $\{x:\exists y\in A:x\in y\}$ Schreibweise: $\cup A$

Beispiel: $A=\{\{1,2,3\},\{2,4,6,7\},\{1\},\varnothing ,\{0,4,8,36\}\};\cup A=\{1,2,3,4,6,7,0,8,36\}$

Schnittmenge

Zu jeder nichtleeren Menge $A$ gibt es eine Menge, die aus genau denjenigen Mengen besteht, die in allen Elementen aus A als Element vorkommen $\{x:\forall y\in A:x\in y\}\{x\in \cup A:\forall y\in A:x\in y\}$ Schreibweise $\cap A$

Beispiel:

• $A=\{\{1,2,3\},\{2,4,\underset{🦄}{\underbrace{6,7}}\},\{1\},\varnothing ,\{0,4,8,36\}\};\cap A=\varnothing$
• $\cap \{\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\},\dots \}=\{1,2\}$
• $\cap \{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\}\}=\{1\}$

Für Mengen $A,B$ betrachtet die Menge $A,B$ (Paarmengenaxiom) und definiere:

$A\cup B:=\cup \{A,B\}=\{x:x\in A\vee x\in B\}$ $A\cap B:=\cap \{A,B\}=\{x:x\in A\wedge x\in B\}=\{x\in A:x\in B\}\{x\in B:x\in A\}$

Weitere zweistellige “Mengenoperationen” $A\setminus B:=\{x\in A:x\notin B\}$ (lies: “A ohne B”, “Komplement von B relativ A”). {Z.Bsp: $A\setminus (A\setminus B)=B$ für $B\subseteq A$} $A△B:=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$ (symmetrische Differenz von A und B) Für einene Menge $A$ sei $△A=\{x\in \cup A:x\text{ x liegt in einer ungeraden Anzahl von Mengen aus A}\}$ Somit $△\{A,B\}=x△y$

Regeln für Mengenoperationen:

• $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C),A\cup B=B\cup A$
• $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C),A\cap B=B\cap A$
• $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ (#)

Beweis zu # "$\subseteq$": Sei $x\in A\cup (B\cap C)$

• ${⟶}^{Def.\cup }x\in A\vee x\in B\cap C$
• ${⟶}^{Def.\cap }x\in A\vee (x\in B\wedge x\in C)$
• ${⟶}^{\text{Distributivg.}}(x\in A\vee x\in B)\wedge (x\in A\vee x\in C)$
• ${⟶}^{Def.\cup }x\in A\cup B\vee x\in A\cup C$
• $⟶x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$ "$\supseteq$": Analog… Oder: Alle “Vorwärtsimplikationen oben sind bereits Äquivalenzen… "$⟶$" = "$⟷$"

Beweis von: $(A\cup B)\setminus (A\cap B)=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$ "$\subseteq$" Sei $x\in (A\cup B)\setminus (A\cap B)$

• ${⟶}^{Def\setminus }x\in A\cup B\vee x\notin A\cap B$
• ${⟶}^{Def\cup ,\cap }(x\in A\vee x\in B)\wedge (x\notin A\vee x\notin B)$
• ${⟶}^{\text{Distributivg.}}((x\in A\vee x\in B)\wedge x\notin A)\vee ((x\in A\vee x\in B)\wedge x\notin B)$
• $⟶((x\in A\wedge x\notin A)\vee (x\in B\wedge x\notin A))\vee ((x\in A\wedge x\notin B)\vee (x\in B\wedge x\notin B))$
• $⟶(x\in B\wedge x\notin A)\vee (x\in A\wedge x\notin B)$
• $⟶x\in B,A\vee x\in A,B$
• $⟶x\in (B,A)\vee (A,B)$
• $⟶x\in (A,B)\vee (B,A)$

Wieder doppelbeweis (in beide Richtungen)

Wenn keine Lust auf schriftlichen Beweis gerne auch Diagrammebeweis :)