191026 Vorlesung

2. Mengen

Cantor: "Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedenen Objekte unserer Anschaueng oder unseren Denkens." "Von jedem Objekt steht fest, ob es zur Menge gehört oder auch nicht."

Beispiele:

• $\{1,2,3,4\}$ Menge der ganzen Zahlen von 1 bis 4
• $\{M,A,T,H,E,I,K\}$ Menge der Buchstaben des Wortes Mathematik
• $\{A,E,H,I,K,M,T\}$ Menge der Buchstaben des Wortes Mathematik
• $\{M,A,T,H,E,M,A,T,I,K\}$ Menge der Buchstaben des Wortes Mathematik
• $\{x\in \underset{\text{Menger der ganzen Zahlen}}{\underbrace{\mathbb{Z}}}:x\text{ prim }\}$ Menge aller Primzahlen
• $x\in \mathbb{R}:0\le x\le 1$ Menge der reelen Zahlen zwischen 0 und 1 (inklusive)

Problem der naiven Mengenlehre

Wir reden über das Universum aller Mengen

Info

Bro ist fett am yappen :)

Wünsche:

1. "$x\in y$" soll eine Aussageform über den Universum aller Mengen sein D.h. für zwei Mengen $x,y$ ist entweder x ein Element von y ($x\in y$ wahr) oder nicht ($x\in y$ falsch). SEHR NATÜRLICHER WUNSCH
2. (Aussonderung durch Prädikate) Ist $p(x)$ eine Aussageform über den Universum aller Mengen, so soll es eine Menge geben, die aus genau denjenigen Elementen Mengen besteht, für die das Prädikat ($p(x)$) war ist

Aber Russelsche Antinomie 😈👹😈

• Betrachte $p(x)=x\notin x$
• Dann gibt es eine Menge M, die aus genau denjenigen Mengen besteht, für die $p(x)$ wahr ist. $M=\{x:p(x)\text{ wahr}\}=\{x:x\notin x\}$ “Leere Menge eventuell” Frage: Gehört M zu M? $M\in M$?

1. Fall: $M\in M{⟶}^{DefM}p(x)$ ist wahr für $M{⟶}^{Defp}M\notin M$ WIDERSPRUCH
2. Fall: $M\notin M{⟶}^{Defp}p(x)$ ist wahr für $M{⟶}^{DefM}M\in M$ WIDERSPRUCH

Lösung: Aussonderung nicht aus dem Universum sonder aus (“gesicherten”) Mengen

Wunsch 2:

• Ist $p(x)$ eine Aussageform über dem Universum aller Mengen und A eine Menge, so soll es eine Menge geben, die aus genau denjenigen Mengen aus A besteht, für die p(x) wahr ist. Die Gesamtheit aller Mengen, die ein vorgegebenes Prädikat $p(x)$ erfüllen nennt man auch eine Klasse. Die Gesamtheit aller Mengen, ist eine Klasse, aber keine Menge (sogennante echte Klasse, Unmengen)

Wunsch 3:

• Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Element enthalten.
• $A=B\leftrightarrow \forall x:x\in A⟶x\in B$
• Somit gilt für zwei Prädikate $p(x),q(x)$ und eine Menge C:
  • $\{x\in C:p(x)\text{ wahr}\}=\{x\in C:q(x)\text{ wahr}\}$ genau dann, wenn $\forall x\in C:p(x)\leftrightarrow q(x)$

Wunsch 0:

Folgerung: Es gibt eine Menge ohne Elemente, die sog. leere Menge, Bezeichnug. $\varnothing$ Beweis:

• Nach Wunsch 0 gibt es eine Menge $A$. Betrachte das Prädikat $p(x)=x\in x\wedge x\notin x$ (ist immer falsch)
• Die Menge $\{x\in A:p(x)\text{ wahr}\}$ aller Mengen x für die p(x) wahr ist, enthält keine Elemente Wie kommt man von hier an zu “größeren” Mengen? Wir sagen: $A$ ist eine Teilmenge von $B$, Schreibweise $A\subseteq B,\text{ falls gilt}:\forall x:x\in A⟶x\in B$ Zum Beispiel gilt: $A\subseteq B\wedge B\subseteq A$ genau dann, wenn $A=B$

Wunsch 4:

• Zu jeder Menge $A$ gibt es eine Menge, die aus genau denjenigen Mengen x besteht, für die $x\subseteq A$ gilt
• (Menge aller Teilmengen von $A$ auch: Potenzmenge von $A$, Schreibweise $\mathfrak{p}(A),\text{ oder stilysiertes P}(A),2^A$) Beispiel: $\mathfrak{p}(\varnothing )=\{\varnothing \},\{\varnothing \}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$
• $\mathfrak{p}(\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\{\varnothing \}\},\varnothing \{\varnothing \}\}$
• Komplette Wunschliste Wikie, $\underset{\text{Zermelo}}{\underbrace{Z}}\underset{\text{Fraenkel}}{\underbrace{F}}\underset{\text{Choice}}{\underbrace{C}}$ Beispiel: $\mathfrak{p}(\{1,2,3\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$
• Darstellung durch ein Hasse-Diagramm:
• 
  • x steht “über y” falls $y\subseteq x$ Eine Verbindung zwischen x und y wird gezogen, wenn $y\subseteq x$ und aus $y\subseteq z\subseteq x$ folgt stehts $z=y$ oder $z=x$ gelten (außerdem $y\ne x$)